Quesiti sulla metrica euclidea

[ultralion79]

1) R con metrica euclidea, E sottoinsieme di R privo di punti di accumulazione in R. Quali sono vere?
(a) E è finito
(b) E non ha punti interni
(c) Una successione convergente di punti di E è definitivamente costante

La (a) penso sia falsa perchè N è sottoinsieme di R, privo di punti di accumulazione e non è finito
Per la (b) pensavo a Q che è privo di punti interni, ma ha punti di accumulazione, però so che non c'entra con la richiesta. Come potrei rispondere? Non va bene dire che se per assurdo E avesse punti interni questi sarebbero di accumulazione?
La (c) potrebbe essere vera perchè se la successione è convergente convergerebbe ad un punto di accumulazione di E, giusto?

2) R con metrica euclidea.
A= $ {x in R : log(1+sqrt(1-x^2)/x) B= $ {2+(-1)^n/n, nin N} $
E=AUB

(a) A= $ [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;1] $ ---> giusto?
L'insieme B è giusto dire che coincide con l'insieme [1;3)? E quindi E=$ [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;3) $?
(b) Sup E=3 ed inf E=-1
(c) $ partial E={-1, -sqrt(2)/2, sqrt(5)/5,3 } $
(d) insieme dei punti interni è tutto con le tonde? Grazie!

[pilloeffe]

Ciao ultralion79,

"ultralion79":(a) $ A = [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;1] $ ---> giusto?

Sì, basta risolvere il sistema seguente:

${(1 - x^2 \ge 0),(0 < 1+sqrt(1-x^2)/x < 3),(x \ne 0):} $

"ultralion79":L'insieme B è giusto dire che coincide con l'insieme [1;3)?

No. Se $B = {2+(-1)^n/n, n\in \NN} $ per $n = 1 $ si trova $1$, ma per $n = 2 $ si trova $2 + 1/2 = 5/2 $; andando avanti con $n$ si trovano valori sempre compresi nell'intervallo $[1, 5/2]$, ma razionali, non è che improvvisamente l'insieme $B$ diventa denso ed uguale a $C = [1, 5/2]$: un valore come ad esempio $e/2$ in $B$ non lo troverai mai, al massimo puoi dire che $B \subset C $

[Quinzio]

Questi argomenti non sono il mio forte, ma provo a rispondere.

"ultralion79":1) R con metrica euclidea, E sottoinsieme di R privo di punti di accumulazione in R. Quali sono vere?
(a) E è finito
(b) E non ha punti interni
(c) Una successione convergente di punti di E è definitivamente costante

La (a) penso sia falsa perchè N è sottoinsieme di R, privo di punti di accumulazione e non è finito

Si, pero'... la risposta corretta secondo me e' "non necessariamente". Che non e' ne' vero, ne' falso.

Per la (b) pensavo a Q che è privo di punti interni, ma ha punti di accumulazione, però so che non c'entra con la richiesta. Come potrei rispondere? Non va bene dire che se per assurdo E avesse punti interni questi sarebbero di accumulazione?

Direi ok.

La (c) potrebbe essere vera perchè se la successione è convergente convergerebbe ad un punto di accumulazione di E, giusto?

La successione $1/n$come si comporta ?

2) R con metrica euclidea.
A= $ {x in R : log(1+sqrt(1-x^2)/x) B= $ {2+(-1)^n/n, nin N} $
E=AUB

(a) A= $ [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;1] $ ---> giusto?

Si

L'insieme B è giusto dire che coincide con l'insieme [1;3)? E quindi E=$ [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;3) $?

No.
$2.99999$ fa parte di $B$ ? Se si, per quale $n$ ?

(b) Sup E=3 ed inf E=-1

Direi ok.

(c) $ partial E={-1, -sqrt(2)/2, sqrt(5)/5,3 } $
(d) insieme dei punti interni è tutto con le tonde? Grazie!

Da rivedere dopo le correzioni che (ti) ho fatto.

[ultralion79]

"pilloeffe":Ciao ultralion79,
[quote="ultralion79"](a) $ A = [-1;-sqrt(2)/2 ) uu (sqrt(5)/5;1] $ ---> giusto?

Sì, basta risolvere il sistema seguente:

${(1 - x^2 \ge 0),(0 < 1+sqrt(1-x^2)/x < 3),(x \ne 0):} $

"ultralion79":L'insieme B è giusto dire che coincide con l'insieme [1;3)?

No. Se $B = {2+(-1)^n/n, n\in \NN} $ per $n = 1 $ si trova $1$, ma per $n = 2 $ si trova $2 + 1/2 = 5/2 $; andando avanti con $n$ si trovano valori sempre compresi nell'intervallo $[1, 5/2]$, ma razionali, non è che improvvisamente l'insieme $B$ diventa denso ed uguale a $C = [1, 5/2]$: un valore come ad esempio $e/2$ in $B$ non lo troverai mai, al massimo puoi dire che $B \subset C $[/quote]

Quindi E sarebbe costituito da A unito a tutti i razionali contenuti nell'intervallo $[1, 5/2]$?
Quindi l'inf E = -1 e il sup E = 5/2?
Quindi la frontiera di E è fatta da $-1, -sqrt(2)/2, sqrt(5)/5$ e da tutti gli elementi di B?
Mentre i punti interni sono quelli di A senza estremi? Grazie!

[ultralion79]

"Quinzio":Questi argomenti non sono il mio forte, ma provo a rispondere.

[quote="ultralion79"]1) R con metrica euclidea, E sottoinsieme di R privo di punti di accumulazione in R. Quali sono vere?
(a) E è finito
(b) E non ha punti interni
(c) Una successione convergente di punti di E è definitivamente costante

La (a) penso sia falsa perchè N è sottoinsieme di R, privo di punti di accumulazione e non è finito

Si, pero'... la risposta corretta secondo me e' "non necessariamente". Che non e' ne' vero, ne' falso.

Per la (b) pensavo a Q che è privo di punti interni, ma ha punti di accumulazione, però so che non c'entra con la richiesta. Come potrei rispondere? Non va bene dire che se per assurdo E avesse punti interni questi sarebbero di accumulazione?

Direi ok.

La (c) potrebbe essere vera perchè se la successione è convergente convergerebbe ad un punto di accumulazione di E, giusto?

[/quote]La successione $1/n$come si comporta ? [quote]

Grazie mille, non mi convince la risposta alla (b) e non capisco perchè tu prenda come riferimento la successione 1/n per rispondere alla (c). Ok che 1/n converge a 0 e che non è una successione definitivamente costante, ma questo basta per dire che la (c) è falsa? Falsa perchè lo 0 non appartiene a E?

[Quinzio]

Grazie mille, non mi convince la risposta alla (b) e non capisco perchè tu prenda come riferimento la successione 1/n per rispondere alla (c). Ok che 1/n converge a 0 e che non è una successione definitivamente costante, ma questo basta per dire che la (c) è falsa? Falsa perchè lo 0 non appartiene a E?

Per la b) ti do ragione. La tua risposta mi sembra corretta.

Per la c) qual e' per te il significato di "definitivamente costante" ?

[ultralion79]

"Quinzio":

Grazie mille, non mi convince la risposta alla (b) e non capisco perchè tu prenda come riferimento la successione 1/n per rispondere alla (c). Ok che 1/n converge a 0 e che non è una successione definitivamente costante, ma questo basta per dire che la (c) è falsa? Falsa perchè lo 0 non appartiene a E?

Per la b) ti do ragione. La tua risposta mi sembra corretta.

Per la c) qual e' per te il significato di "definitivamente costante" ?

Che da un certo indice in poi i termini della successione sono costanti, tipo

1 3 5 7 9 10 12 15 15 15 15 15 15 15 15

[Quinzio]

"ultralion79":
1 3 5 7 9 10 12 15 15 15 15 15 15 15 15

Benissimo, $1/n$ non e' definitivamente costante e converge a zero. Quindi la c) e' falsa secondo me.

[ultralion79]

"Quinzio":[quote="ultralion79"]
1 3 5 7 9 10 12 15 15 15 15 15 15 15 15

Benissimo, $1/n$ non e' definitivamente costante e converge a zero. Quindi la c) e' falsa secondo me.[/quote]

Giusto, quindi tra i punti di E prendo le immagini della successione 1/n che converge 0, il quale è punto di accumulazione di R ma 0 non appartiene ad E, perchè E non ha punti di accumulazione. Quindi in E, privo di punti di accumulazione, posso trovare una successione non definitivamente costante e convergente, e il controesempio è 1/n

[pilloeffe]

"ultralion79":Quindi E sarebbe costituito da A unito a tutti i razionali contenuti nell'intervallo $[1,5/2]$?

Frase che potrebbe essere equivocata: direi $A$ unito ai razionali contenuti nell'intervallo $[1,5/2]$ dati dalla legge che definisce l'insieme $B$, perché l'intervallo $[1, 5/2]$ contiene sicuramente altri razionali che non possono essere ottenuti con la legge che definisce l'insieme $B$ e quindi quel "tutti" potrebbe essere frainteso:

$B \subset {x \in \QQ : 1 \le x \le 5/2} \subset C = [1, 5/2] $

"ultralion79":Quindi l'inf E = -1 e il sup E = 5/2?

Sì. Nel caso in esame $\text{inf }E = min E = - 1 $ e $\text{sup } E = max E = 5/2$

"ultralion79":Quindi la frontiera di E è fatta da $−1$,$−\sqrt2/2$,$\sqrt5/5 $ e da tutti gli elementi di B?

Sì.

"ultralion79":Mentre i punti interni sono quelli di A senza estremi?

Sì.

"ultralion79":Grazie!

Prego!