Quesiti su spazi metrici e normati

[5mrkv]

A posto:

$1.$ Sia $(E,d)$ $E=\{f:\mathbb{R}\supseteq[a,b]->\mathbb{C}:\ f\inC^{0}\[a,b\]\}$ e $d(f,g)=$sup$_[a,b]|f(x)-g(x)|$. Lo spazio è completo e devo stablire per $E \supseteq M=\{f:\mathbb{R}\supseteq[a,b]->\mathbb{C}:\ f\inC^{0}\[a,b\],f(x_{0})=k\}$ se è chiuso o denso in $E$. Denso non è perché dovrebbe essere $E=\overline{M}=M$ (so che già che è chiuso, dalla soluzione) ma posso trovare funzioni di $E$ che non passano per $x_0$ e quindi non appartengono a $M$. Non capisco perché debba essere chiuso. So che in uno spazio metrico i punti di un insieme chiuso sono identificabili con i limiti di successioni dell'insieme. Quindi devo dimostrare che se ho $f\in M$ questa è limite di $\{f_{n}\}\in M$ o se ho $\{f_{n}\} \in M$ questa tende a $f \in M$. Ma se ho una successione di funzioni che passano tutte per il punto non è ovvio che la funzione limite passa per il punto? Cosa dovrei dire?

$2.$ Sia $(E,||\cdot||)$ con $E=\{a=\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}:a_{n}\in\mathbb{C},a_{n}\ne 0$ solo per un numero finito di elementi$\}$ e $||a||=$sup$_n|a_n|$. Devo mostrare che si tratta di uno spazio non completo, ma non capisco il procedimento nella soluzione:

Lo spazio $E$ non è completo, infatti la successione $\{a^{N}\}_{N\in\mathbb{N}}$ di elementi di $E$ con:
\[
a^{N}=(1,2,...,\frac{1}{N},0,0,...)
\]
è di Cauchy ma la successione limite:
\[
a=(1,2,...,\frac{1}{N},\frac{1}{N+1},...)
\]
non appartiene ad $E$.
Ma che è quella successione? Sono elementi di $E$ con l'ultimo numero non nullo di quella forma? E non capisco neppure da dove abbia tirato fuori quel limite.

$3.$ La norma della distribuzione $\delta$ in $L^2[0,1]$ è uno?

$4.$ Vedi giù.

[5mrkv]

Ho capito il senso della successione di Cauchy in $2$. Le successioni sono del tipo:

$a^{n+0=4}=1,2^{-1},3^{-1},n,^{-1},0,0,...$
$a^{n+1=5}=1,2^{-1},3^{-1},n^{-1},(n+1)^{-1},0,0,...$
$a^{n+2=6}=1,2^{-1},3^{-1},n^{-1},(n+1)^{-1},(n+2)^{-1},0,0,...$

La successione è di Cauchy e convergente, ma il limite delle precedenti non vi appartiene perché contiene un numero infinito di termini.

[Rigel1]

1. Prendi una successione \((f_n)\subset M\); per definizione di \(M\), \(f_n(x_0) = k\) per ogni \(n\). Supponi ora che \((f_n)\) converga uniformemente a \(f\); sarà vero che \(f\in M\)?
2. La successione \(a\) è quella che ha tutti i termini non nulli, vale a dire t.c. \(a_n = 1/n\) per ogni \(n\).
3. Prova a scrivere la definizione di norma.

[5mrkv]

$4.$ Siano, con la metrica dell'estremo superiore
$K(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}\ |\ f$ è limitata q.o. con supporto compatto$\}$
$L(\mathbb{R})=\{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}\ |\ f$ è limitata q.o. e $\lim_{|x|\to \infty}f(x)= 0\}$
Supp$f=\overline{\{x\in \mathbb{R}\ |\ f(x)\ne 0}}$ come definito nell'esercizio. Anche se non capisco che senso abbia chiedere la compattezza del supporto se poi lo definisce come compatto. Supponiamo che per $K$ richieda la compattezza di Supp$f=\{x\in \mathbb{R}\ |\ f(x)\ne 0}$.

Per quale motivo il primo è sottoinsieme del secondo? Se $\mathbb{R}$ è topologicamente sia aperto che chiuso non posso prendere gli insiemi $[-\infty,a]$ e $[b,\infty]$ come supporto della funzione costante e $\ne 0$ all'interno di solo tali compatti? Come fa a tendere a zero all'infinito così? Ancora. Supponiamo che il primo sia effettivamente sottoinsieme del secondo, che è uno spazio di Banach. Ho un esempio che mi mostra come mai il primo invece, non è uno spazio di Banach. Sia $g_{n}(x)=e^{-x^{2}}$ quando $-n<=x<=n$ e nulla al di fuori. Il limite $g(x)=e^{-x^{2}}$ è definito su tutto $\mathbb{R}$... che non è compatto perché non limitato?

"Rigel":1. Prendi una successione \((f_n)\subset M\); per definizione di \(M\), \(f_n(x_0) = k\) per ogni \(n\). Supponi ora che \((f_n)\) converga uniformemente a \(f\); sarà vero che \(f\in M\)?

Direi che la convergenza puntuale implica ache quella uniforme e quindi si. Devo andare a ripassarmi l'argomento.

2. La successione \(a\) è quella che ha tutti i termini non nulli, vale a dire t.c. \(a_n = 1/n\) per ogni \(n\).

Poi il due l'ho capito.

3. Prova a scrivere la definizione di norma.

Niente, ho risolto l'esercizio in altro modo. Meglio non mettere in mezzo le distribuzioni se non so cosa sono.

[gugo82]

Osserva che, in generale, il supporto di una funzione è un chiuso (per definizione) ma non un compatto.
Ad esempio, la funzione \(f(x):=x\ \chi_{[0,\infty[} (x)\) è continua in \(\mathbb{R}\) ed ha supporto \(=[0,\infty[\), che è chiuso ma non compatto.

E nota che dire che una funzione ha supporto compatto vuol dire che essa è nulla fuori da un insieme compatto sufficientemente largo, quindi per definizione di limite...

[5mrkv]

Eh, nel punto $4.$ nel commentare il sostegno ho fatto confusione fra chiusura e compattezza.

"gugo82":Osserva che, in generale, il supporto di una funzione è un chiuso (per definizione) ma non un compatto.
Ad esempio, la funzione \(f(x):=x\ \chi_{[0,\infty[} (x)\) è continua in \(\mathbb{R}\) ed ha supporto \(=[0,\infty[\), che è chiuso ma non compatto.

Mi rendo conto che non posso considerae $[a,\infty]$ perché sarebbe un sottoinsieme della retta reale estesa, no? Se potessi considerarlo, in tale retta, sarebbe un insieme limitato? La limitatezza richiedo l'esistenza di un intorno limitato che contiene l'insieme, la distanza con cui definisco l'intorno però, per definizione, deve essere $< \infty$, allora non capisco se in questo senso ci sia differenza fra $[a,infty]$ e $[a,infty)$.

"gugo82":E nota che dire che una funzione ha supporto compatto vuol dire che essa è nulla fuori da un insieme compatto sufficientemente largo, quindi per definizione di limite...

Si, in questo senso è più intuitivo. Significa che il complementare di un compatto, chiuso e limitato è illimitato?