Quesiti di analisi...
Propongo alcuni esercizi di Analisi I, per chi li voglia svolgere, così poi magari confrontiamo le diverse soluzioni.
1)Sia data $f:[a, b]->[a, b]$ continua. Provare che esiste $x in[a, b]$ tale che $f(x)=x$.
2)Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme numerico $X={(-1)^n(1+log(n/2)/n):ninNN, n!=0}$ precisando se si tratta di minimo e massimo. Infine determinare i punti di accumulazione dell'insieme.
3)Utilizzando il prodotto secondo Cauchy di due serie dimostrare che $sum_(n=0)^(infty)(1/2)^n/(n!)=sqrte$.
4)Studiare la funzione $f(x)=arcossqrt(1-x^2)+1/2sqrt(1-x^2)-x-1/2$ e disegnarne il grafico.
1)Sia data $f:[a, b]->[a, b]$ continua. Provare che esiste $x in[a, b]$ tale che $f(x)=x$.
2)Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme numerico $X={(-1)^n(1+log(n/2)/n):ninNN, n!=0}$ precisando se si tratta di minimo e massimo. Infine determinare i punti di accumulazione dell'insieme.
3)Utilizzando il prodotto secondo Cauchy di due serie dimostrare che $sum_(n=0)^(infty)(1/2)^n/(n!)=sqrte$.
4)Studiare la funzione $f(x)=arcossqrt(1-x^2)+1/2sqrt(1-x^2)-x-1/2$ e disegnarne il grafico.
Risposte
Diciamo che per il primo quesito il fatto che ci sia un x$in$[a,b] t.c. f(x)=x
vuol dire che c'è un punto della funzione che giace sulla bisettrice.
Dimostrare questo è facile poiche abbiamo posto per ipotesi che la funzione sia
suriettiva (poichè dominio = codominio) e che il primo punto sia ad esempio
(a,a) quindi f(a)=a.
vuol dire che c'è un punto della funzione che giace sulla bisettrice.
Dimostrare questo è facile poiche abbiamo posto per ipotesi che la funzione sia
suriettiva (poichè dominio = codominio) e che il primo punto sia ad esempio
(a,a) quindi f(a)=a.
Non è scontato che f sia suriettiva: prendi ad esempio [a,b] =[0,1] e $f: [0,1] -> [0,1]$ f(x)=1.
Paola
Paola
"giuseppe87x":
1)Sia data $f:[a, b]->[a, b]$ continua. Provare che esiste $x in[a, b]$ tale che $f(x)=x$.
Siano $x_0 = a$ ed $x_{n+1}= f(x_n)$, per ogni $n \in \mathbb{N}$. Esiste allora una sottosuccessione $\{x_{n_k}\}_{k \ge 0}$ che converge a un qualche p.to $x \in [a,b]$. Banalmente $x = f(x)$, per via della continuità di $f$.
OK DavidHilbert. Nessuno prova con gli altri?
visto che mi dicono che giù a Catania si fà un pò di topologia... provo a ricordarmi qualcosa 
... sia $b>a$
sia $A={(x,y) in R^2, (x,y) in [b-a,b-a]}$
ora la funzione $\gamma:R->R^2$ $t->(t,f(t))$ è un cammino continuo in $A$ con i punti di partenza nei lati verticali del quadrato e che giace completamente in A... (perchè?)
ma $A$ \ ${(x,x)}$ è un insieme non connesso per archi (in quanto non è nemmeno connesso nel senso topologico, quali sono i due aperti che sconnettono?) e si divide in due componenti connesse per archi (quali? e perchè sono connesse per archi?).
Ora, se per assurdo il cammino $\gamma$ giacesse completamente in $A$ \ ${(x,x)}$ questo insieme sarebbe connesso per archi (come mai?), ma allora sarebbe connesso in senso topologico, cosa che non è.... quindi il cammino interseca la bisettrice... il che vuol dire aver trovato il punto voluto...
... sia $b>a$ sia $A={(x,y) in R^2, (x,y) in [b-a,b-a]}$
ora la funzione $\gamma:R->R^2$ $t->(t,f(t))$ è un cammino continuo in $A$ con i punti di partenza nei lati verticali del quadrato e che giace completamente in A... (perchè?)
ma $A$ \ ${(x,x)}$ è un insieme non connesso per archi (in quanto non è nemmeno connesso nel senso topologico, quali sono i due aperti che sconnettono?) e si divide in due componenti connesse per archi (quali? e perchè sono connesse per archi?).
Ora, se per assurdo il cammino $\gamma$ giacesse completamente in $A$ \ ${(x,x)}$ questo insieme sarebbe connesso per archi (come mai?), ma allora sarebbe connesso in senso topologico, cosa che non è.... quindi il cammino interseca la bisettrice... il che vuol dire aver trovato il punto voluto...
"giuseppe87x":
Propongo alcuni esercizi di Analisi I, per chi li voglia svolgere, così poi magari confrontiamo le diverse soluzioni.
1)Sia data $f:[a, b]->[a, b]$ continua. Provare che esiste $x in[a, b]$ tale che $f(x)=x$.
ma se $f:[a,b] to [a,b]$ non significa che se gli dai un intervallo $[a,b]$ la $f(x)$ ti restituisce $[a,b]$?
se si allora il teorema è banale poichè se vale tale condizione $AA x in[a,b] => f(x) = x$
correggetemi se sbaglio che io sono TUTTALTRO che livello universitario..
Il terzo invece a me da
$sum_(n=0)^(infty)1^n/(n!) = e$ e $sum_(n=0)^(infty)(1/2)^n=2$ ed essendo le 2 convergenti allora
$sum_(n=0)^(infty)((1/2)^n)/(n!) = 2e$ e non $sqrt(e)$
premettendo che io ho fatto il reply giusto per confrontare le mie idee e i miei risultati (siccome sono un iniziato), sicuro che è giusto il testo?
$sum_(n=0)^(infty)1^n/(n!) = e$ e $sum_(n=0)^(infty)(1/2)^n=2$ ed essendo le 2 convergenti allora
$sum_(n=0)^(infty)((1/2)^n)/(n!) = 2e$ e non $sqrt(e)$
premettendo che io ho fatto il reply giusto per confrontare le mie idee e i miei risultati (siccome sono un iniziato), sicuro che è giusto il testo?
"Mega-X":
Il terzo invece a me da
$sum_(n=0)^(infty)1^n/(n!) = e$ e $sum_(n=0)^(infty)(1/2)^n=2$ ed essendo le 2 convergenti allora
$sum_(n=0)^(infty)((1/2)^n)/(n!) = 2e$ e non $sqrt(e)$
premettendo che io ho fatto il reply giusto per confrontare le mie idee e i miei risultati (siccome sono un iniziato), sicuro che è giusto il testo?
mi spiace ma le serie non si moltiplicano così facilmente... del resto non lo fanno le somme finite, perchè dovrebbero farlo le serie?
"Mega-X":
[quote="giuseppe87x"]1)Sia data $f:[a, b]->[a, b]$ continua. Provare che esiste $x in[a, b]$ tale che $f(x)=x$.
ma se $f:[a,b] to [a,b]$ non significa che se gli dai un intervallo $[a,b]$ la $f(x)$ ti restituisce $[a,b]$?[/quote]
No, significa soltanto che $f(x) \in [a,b]$, per ogni $x \in [a,b]$.
@Thomas
...quel nostro amico con cui hai parlato è convinto di aver studiato topologia avendo fatto il solo teorema di Borel-Heine, non vedo dove sia tutta questa topologia...se lo sa lui per il resto non ho capito niente di quello che hai scritto 
.
Comunque ne propongo un altro che può essere interessante.
Sia $ f: (a, b)->]0, +infty[$ una funzione uniformemente continua. Dire, giustificando la risposta, se la funzione $g=1/f$ è uniformemente continua. In caso di risposta negativa determinare una condizione sufficiente su $f$ per la uniforme continuità di $g$.
...quel nostro amico con cui hai parlato è convinto di aver studiato topologia avendo fatto il solo teorema di Borel-Heine, non vedo dove sia tutta questa topologia...se lo sa lui
per il resto non ho capito niente di quello che hai scritto . Comunque ne propongo un altro che può essere interessante.
Sia $ f: (a, b)->]0, +infty[$ una funzione uniformemente continua. Dire, giustificando la risposta, se la funzione $g=1/f$ è uniformemente continua. In caso di risposta negativa determinare una condizione sufficiente su $f$ per la uniforme continuità di $g$.
$g(x)$ sarà uniformemente continua SE E SOLO SE la $f(x)$ non si annulla per nessun valore di $[a, b]$
"Mega-X":
$g(x)$ sarà uniformemente continua SE E SOLO SE la $f(x)$ non si annulla per nessun valore di $[a, b]$
D'altro canto, se $f$ si annullasse in qualche p.to di $[a,b]$, la sua inversa non sarebbe correttamente definita, in quanto funzione $[a,b] \to RR$. Dunque si deve ammettere a forza $f \ne 0$ in [a,b]. Diversamente il problema non è ben posto.
Ho editato...
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