Quesiti
Data la funzione $f(x)={(x,0<=x<=1),(1/x^alpha,x>1 (alpha>1)):}$
Stabilire per quale valore di $alpha$ risulta $int_0^(+infty)f(x)dx=1$
Risolvere,rispetto all'incognita $a$, l'equazione $int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=pi/(4a)$
Calcolare $int_(-3/2)^(+infty)dx/((x+2)*sqrt(2x+3))
Risolvere,rispetto all'incognita $a$,l'equazione $int_a^3 1/(root3((x-a))^2)dx=3$
Calcolare $int_RRx/(1+x^10)dx
Stabilire per quale valore di $alpha$ risulta $int_0^(+infty)f(x)dx=1$
Risolvere,rispetto all'incognita $a$, l'equazione $int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=pi/(4a)$
Calcolare $int_(-3/2)^(+infty)dx/((x+2)*sqrt(2x+3))
Risolvere,rispetto all'incognita $a$,l'equazione $int_a^3 1/(root3((x-a))^2)dx=3$
Calcolare $int_RRx/(1+x^10)dx
Risposte
"Ainéias":
Calcolare $int_RRx/(1+x^10)dx
La funzione integranda è dispari, quindi...
"Ainéias":
Risolvere,rispetto all'incognita $a$, l'equazione $int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=pi/(4a)$
$a=1$
"Ainéias":
Risolvere,rispetto all'incognita $a$,l'equazione $int_a^3 1/(root3((x-a))^2)dx=3$
Supponendo $a<3$ risulta $a=2$
"Ainéias":
Data la funzione $f(x)={(x,0<=x<=1),(1/x^alpha,x>1 (alpha>1)):}$
Stabilire per quale valore di $alpha$ risulta $int_0^(+infty)f(x)dx=1$
$a=3$
"Ainéias":
Risolvere,rispetto all'incognita $a$, l'equazione $int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=pi/(4a)$
Ovviamente supponendo $ane0$ ed essendo che:
$int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=1/aartg(x/a)|_(1)^(+infty)=pi/(2a)-1/aartg(1/a)$
Dunque si ottiene l'equazione:
$pi/(2a)-1/aartg(1/a)=pi/(4a) Leftrightarrow artg(1/a)=pi/4 Leftrightarrow 1/a=1 Leftrightarrow a=1$
Spero ti sia tutto chiaro, altrimenti domanda pure.
"Kroldar":
[quote="Ainéias"]
Calcolare $int_RRx/(1+x^10)dx
La funzione integranda è dispari, quindi...[/quote]
Volevo fare un appunto su questa risposta: il fatto che la funzione integranda sia dispari su un intervallo simmetrico e limitato è condizione sufficiente a garantire che il suo integrale sia nullo. Questo però e falso se l'intervallo non è limitato infatti verificando solamente la disparità della funzione si potrebbe concludere che:
$int_(-infty)^(+infty)x^3dx=0$
che sarebbe una considerazione ovviamente falsa! Secondo me bisognerebbe aggiungere che la funzione $x/(1+x^10)$ è anche Riemann integrabile in senso improprio in $U(+infty)$ e in $U(-infty)$ oltre che dispari.
"fabry1985mi":
Questo però e falso se l'intervallo non è limitato infatti verificando solamente la disparità della funzione si potrebbe concludere che:
$int_(-infty)^(+infty)x^3dx=0$
che sarebbe una considerazione ovviamente falsa! Secondo me bisognerebbe aggiungere che la funzione $x/(1+x^10)$ è anche Rieman integrabile in senso improprio in $U(+infty)$ e in $U(-infty)$ oltre che dispari.
No! Chi ha parlato di integrale di Riemann? Mi dici dove hai letto il riferimento a Riemann?
"Kroldar":
[quote="fabry1985mi"]Questo però e falso se l'intervallo non è limitato infatti verificando solamente la disparità della funzione si potrebbe concludere che:
$int_(-infty)^(+infty)x^3dx=0$
che sarebbe una considerazione ovviamente falsa! Secondo me bisognerebbe aggiungere che la funzione $x/(1+x^10)$ è anche Rieman integrabile in senso improprio in $U(+infty)$ e in $U(-infty)$ oltre che dispari.
No! Chi ha parlato di integrale di Riemann? Mi dici dove hai letto il riferimento a Riemann?[/quote]
Proprio per questo l'ho scritto: non avendolo visto da nessuna parte ho aggiunto io questa osservazione che è necessaria se l'intevallo non è limitato. Io ho pensato che l'autore non si riferisse ad altro integrale se non quello di Riemann.
Scusa se insisto. Credo che l'autore intendesse l'integrale di Lebesgue o al più l'integrale nel senso del valor principale.
Quindi altro che Riemann-integrabilità. Quell'integrale è finito ed esiste secondo Lebesgue perché è verificata la sommabilità sia della parte positiva che di quella negativa della funzione integranda. Per l'esempio che hai portato sulla funzione $x^3$ non credo sia sbagliato dire che l'integrale di questa funzione esteso a $RR$ è nullo in quanto è abitudine diffusa considerare l'integrale a valor principale, laddove la sommabilità della parte positiva e quella negativa separatamente non sussista.
Quindi altro che Riemann-integrabilità. Quell'integrale è finito ed esiste secondo Lebesgue perché è verificata la sommabilità sia della parte positiva che di quella negativa della funzione integranda. Per l'esempio che hai portato sulla funzione $x^3$ non credo sia sbagliato dire che l'integrale di questa funzione esteso a $RR$ è nullo in quanto è abitudine diffusa considerare l'integrale a valor principale, laddove la sommabilità della parte positiva e quella negativa separatamente non sussista.
"Kroldar":
Scusa se insisto. Credo che l'autore intendesse l'integrale di Lebesgue o al più l'integrale nel senso del valor principale.
Quindi altro che Riemann-integrabilità. Quell'integrale è finito ed esiste secondo Lebesgue perché è verificata la sommabilità sia della parte positiva che di quella negativa della funzione integranda. Per l'esempio che hai portato sulla funzione $x^3$ non credo sia sbagliato dire che l'integrale di questa funzione esteso a $RR$ è nullo in quanto è abitudine diffusa considerare l'integrale a valor principale, laddove la sommabilità della parte positiva e quella negativa sussista separatamente.
Io non sono così esperto: ho appena iniziato un corso di teoria della misura, quindi l'integrale di Lebesgue non mi è ancora stato spiegato. Io ho creduto che quell'integrale fosse da intendersi nel senso di Riemann poichè esercizi di questo genere mi erano stati assegnati durante il corso di Analisi 1 e Analisi 2 dove non si faceva riferimento all'integrazione secondo Lebesgue. Comunque non volevo sembrare critico nei tuoi confronti; pensavo solo che fosse stata una tua svista non aggiungere il particolare della limitatezza dell'intervallo. Approfitterei allora per farti una domanda e avere un'anteprima su come si integrano le funzioni secondo Lebesgue:
ma se devo integrare la funzione $x^3$ come mi comporto? A me era stato spiegato che deve esistere l'integrale in entrambi gli intorni, altrimenti non si può procedere. Se uso l'integrale di Lebesgue non è più vero questo?
"fabry1985mi":
Io non sono così esperto
Neanche io se è per questo
"fabry1985mi":
Approfitterei allora per farti una domanda e avere un'anteprima su come si integrano le funzioni secondo Lebesgue:
ma se devo integrare la funzione $x^3$ come mi comporto? A me era stato spiegato che deve esistere l'integrale in entrambi gli intorni, altrimenti non si può procedere. Se uso l'integrale di Lebesgue non è più vero questo?
Da quanto ne so io l'integrale di Lebesgue esiste solo quando almeno una tra $f_+$ e $f_-$ (parte positiva e negativa rispettivamente) è sommabile (ovviamente ci sono dei criteri per la sommabilità), quindi per la funzione $x^3$ l'integrale di Lebesgue non esiste. Negli studi che faccio io (ingegneria) si taglia corto con l'integrale a valor principale
.
"Kroldar":
[quote="fabry1985mi"]Io non sono così esperto
Neanche io se è per questo
"fabry1985mi":
Approfitterei allora per farti una domanda e avere un'anteprima su come si integrano le funzioni secondo Lebesgue:
ma se devo integrare la funzione $x^3$ come mi comporto? A me era stato spiegato che deve esistere l'integrale in entrambi gli intorni, altrimenti non si può procedere. Se uso l'integrale di Lebesgue non è più vero questo?
Da quanto ne so io l'integrale di Lebesgue esiste solo quando almeno una tra $f_+$ e $f_-$ (parte positiva e negativa rispettivamente) è sommabile (ovviamente ci sono dei criteri per la sommabilità), quindi per la funzione $x^3$ l'integrale di Lebesgue non esiste. Negli studi che faccio io (ingegneria) si taglia corto con l'integrale a valor principale
.[/quote]Scusami ancora una domanda, anzi due: cosa significa, almeno in parole povere, sommabile e valore principale?
Sommabile vuol dire che l'integrale del modulo esiste finito.
Sul valor principale vorrei spendere qualche parola in più ma devo scappare ahimé...
Sul valor principale vorrei spendere qualche parola in più ma devo scappare ahimé...
$int_(-3/2)^(+oo) 1/((x+2)sqrt(2x+3)) dx = pi
(ponendo $sqrt(2x+3)=y$ viene immediatamente)
(ponendo $sqrt(2x+3)=y$ viene immediatamente)
"Ainéias":
Risolvere,rispetto all'incognita $a$, l'equazione $int_1^(+infty)dx/(x^2+a^2)=pi/(4a)$
L'integrale si può riscrivere come: $\frac{1}{a} \int_{1}^{+\infty} \frac{\frac{1}{a}}{(\frac{x}{a})^2 + 1}dx = \frac{1}{a}["arctg"(\frac{x}{a})]_{1}^{+\infty} = \frac{1}{a} [\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a})]$
Quindi l'equazione diventa:
$\frac{1}{a} [\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a})] = \frac{\pi}{4a}$ da cui
$\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a}) = \frac{\pi}{4}$
$"arctg"(\frac{1}{a}) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a = \sqrt{2}$
"Ainéias":
Risolvere,rispetto all'incognita $a$,l'equazione $int_a^3 1/(root3((x-a))^2)dx=3$
L'integrale si riscrive come:
$\int_{a}^{3} (x-a)^{-\frac{2}{3}} dx = 3 [(x-a)^{\frac{1}{3}}]_{a}^{3} = 3 (3-a)^{\frac{1}{3}}$
quindi
$3 (3-a)^{\frac{1}{3}} = 3$
$(3-a)^{\frac{1}{3}}=1$
$a=2$
"Tipper":
L'integrale si può riscrivere come: $\frac{1}{a} \int_{1}^{+\infty} \frac{\frac{1}{a}}{(\frac{x}{a})^2 + 1}dx = \frac{1}{a}["arctg"(\frac{x}{a})]_{1}^{+\infty} = \frac{1}{a} [\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a})]$
Quindi l'equazione diventa:
$\frac{1}{a} [\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a})] = \frac{\pi}{4a}$ da cui
$\frac{\pi}{2} - "arctg"(\frac{1}{a}) = \frac{\pi}{4}$
$"arctg"(\frac{1}{a}) = \frac{\pi}{4}$
$\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a = \sqrt{2}$
Ho fatto i conti in fretta, ma se guardi su a me è uscito un valore diverso... Ripeto cmq di non essere sicuro di aver svolto tutto perbene.
Ops... sinceramente non mi ero accorto che avevi già risolto tutto tu...
Comunque con $a=1$ torna tutto, penso proprio che sia la tua la soluzione corretta.
Comunque con $a=1$ torna tutto, penso proprio che sia la tua la soluzione corretta.
I risultati dati da Kroldar sono tutti esatti.
E per forza, nei miei pasasggi ho considerato $\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$... insultatemi
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