Quesiti
Per quali valori di $a,binRR$ la funzione:
$f(x)={(e^(2(x-1)),x<=1),(ax+b,x>1):}$
è di classe $C^1(RR)$ ?
Dire se le funzioni $f(x)=ln(1+x^2)$, $g(x)=ln(1-x^3)$ sono lipschitziane in $RR$.
Sia $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $"con"$ $x$ $"reale"$. Determinare $a,b,c,d$ reali tali che $f^{\prime}$ abbia un estremo relativo in $x=0$, $lim_(x->-1)f(x)/(x+1) in RR$,$f(0)=f^(''')(0)=1$
$f(x)={(e^(2(x-1)),x<=1),(ax+b,x>1):}$
è di classe $C^1(RR)$ ?
Dire se le funzioni $f(x)=ln(1+x^2)$, $g(x)=ln(1-x^3)$ sono lipschitziane in $RR$.
Sia $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $"con"$ $x$ $"reale"$. Determinare $a,b,c,d$ reali tali che $f^{\prime}$ abbia un estremo relativo in $x=0$, $lim_(x->-1)f(x)/(x+1) in RR$,$f(0)=f^(''')(0)=1$
Risposte
"Ainéias":
Dire se le funzioni $f(x)=ln(1+x^2)$, $g(x)=ln(1-x^3)$ sono lipschitziane in $RR$.
$f(x)$ è derivabile in tutto $RR$ e la sua derivata prima è limitata, sicché $f(x)$ è lipschitziana in $RR$
$g(x)$, non essendo definita in tutto $RR$, non può essere lipschitziana in esso
"Ainéias":
Per quali valori di $a,binRR$ la funzione:
$f(x)={(e^(2(x-1)),x<=1),(ax+b,x>1):}$
è di classe $C^1(RR)$ ?
Vogliamo che $f(x)$ sia continua assieme alla sua derivata prima su tutto $RR$... a tal fine occorre imporre la continuità e la derivabilità nel punto $1$
Per la continuità, occorre che
$lim_(xto1^-) e^2(x-1) = lim_(xto1^+) ax+b => a+b=1$
Per la derivabilità occorre che
$lim_(xto1^-) e^(-2) 2 e^(2x) = lim_(xto1^+) a => a=2$
Da cui risulta
$a=2, b=-1$
Propongo la mia soluzione al terzo quesito dal momento che non ci sono "volontari"
Per avere un estremo relativo in $x=0$ occorre che $f^{\prime}(0)=0 => c=0$
Affinchè il limite sia reale occorre che il numeratore,per $x->-1$,tenda a zero (in quanto il denominatore tende a zero => a posteriori si potrà applicare l'hopital) quindi: $-a+b-c+d=0$
$f(0)=1 => d=1$
$f^(''')(0)=1 => a=1/6$
mettendo a sistema le condizioni trovate si trova che la funzione cercata è: $f(x)=1/6x^3-5/6x^2+1$
Per avere un estremo relativo in $x=0$ occorre che $f^{\prime}(0)=0 => c=0$
Affinchè il limite sia reale occorre che il numeratore,per $x->-1$,tenda a zero (in quanto il denominatore tende a zero => a posteriori si potrà applicare l'hopital) quindi: $-a+b-c+d=0$
$f(0)=1 => d=1$
$f^(''')(0)=1 => a=1/6$
mettendo a sistema le condizioni trovate si trova che la funzione cercata è: $f(x)=1/6x^3-5/6x^2+1$
Nella traccia del 3° es. pero' e' scritto f(0)=f'''(0)=0
e non f(0)=1
karl
e non f(0)=1
karl
Ora la pongo io una domanda...
Prendiamo la funzione $x^2$... essa ovviamente è derivabile ma la sua derivata prima non è limitata, sicché la funzione non è lipschitziana... tuttavia non mi è ben chiaro se essa sia uniformemente continua o meno?
Prendiamo la funzione $x^2$... essa ovviamente è derivabile ma la sua derivata prima non è limitata, sicché la funzione non è lipschitziana... tuttavia non mi è ben chiaro se essa sia uniformemente continua o meno?
E' uniformemente continua se la consideri in un insieme chiuso e limitato in quanto :
Teorema di Heine
Una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato è anche uniformemente continua.
Teorema di Heine
Una funzione continua in un insieme A chiuso e limitato è anche uniformemente continua.
Camillo mi ha giustamente fatto capire che definire una funzione semplicemente scrivendo $x^2$ non ha senso e porta ad ambiguità...
Allora se il dominio è un compatto (per $RR$ euclideo) l'uniforme continuità sussiste, perfetto grazie
E se invece considero $x^2:RRtoRR$ è ancora uniformemente continua?
Allora se il dominio è un compatto (per $RR$ euclideo) l'uniforme continuità sussiste, perfetto grazie
E se invece considero $x^2:RRtoRR$ è ancora uniformemente continua?
"Ainéias":
Per avere un estremo relativo in $x=0$ occorre che $f^{\prime}(0)=0 => c=0$
non era $f^{\prime}$ che doveva avere un estremo relativo?
"luca.barletta":
[quote="Ainéias"]
Per avere un estremo relativo in $x=0$ occorre che $f^{\prime}(0)=0 => c=0$
non era $f^{\prime}$ che doveva avere un estremo relativo?[/quote]
Vero,allora deve essere $f^('')(0)=0$
Se non ho fatto altri errori di distrazione viene: $f(x)=1/6x^3+1/2x^2+4/3x+1$.
però così $f''(0)!=0$
"Kroldar":
E se invece considero $x^2:RRtoRR$ è ancora uniformemente continua?
No, ti lascio il gusto di trovare e scrivere la dimostrazione
Per comodità riporto la definizione
Una funzione $ f(x) $, definita e continua in un insieme A, è ivi uniformemente continua quando, prefissato ad arbitrio $ epsilon > 0 $, è possibile determinare in corrispondenza $ delta_(epsilon) >0 $ , in modo che , per ogni coppia ,$ x , x'$ di punti di A soddisfacenti alla condizione
$| x-x'| < delta_(epsilon)
risulti
$|f(x)-f(x')| < epsilon $.
"luca.barletta":
però così $f''(0)!=0$
Allora è sbagliato proprio il mio metodo
il $lim-(x->-1)f(x)/x+1 in RR$ si tradurrà in qualcosa di diverso.
la derivata prima deve avere un estremo relativo in $x=0$ => $f^('')(0)=0$; poichè $f^('')=6ax+2b$ allora $f^('')(0)=2b => b=0$
$f(0)=1 => d=1$
$f^(''')(0)=1 => a=1/6$
$lim-(x->-1)f(x)/(x+1) in RR => c=1-1/6=5/6$
$=> f(x)=1/6x^3+5/6x+1$
$f(0)=1 => d=1$
$f^(''')(0)=1 => a=1/6$
$lim-(x->-1)f(x)/(x+1) in RR => c=1-1/6=5/6$
$=> f(x)=1/6x^3+5/6x+1$
imponendo $f''(0)=0$, si trova b=0, imponendo le $f(0)=f'''(0)=1$ si trova a=1/6 e d=1. Ora per soddisfare il limite prova ad imporre che la divisione tra i polinomi $1/6x^3+cx+1$ e $x+1$ dia 0 come resto.
ho visto ora, ok
"luca.barletta":
imponendo $f''(0)=0$, si trova b=0, imponendo le $f(0)=f'''(0)=1$ si trova a=1/6 e d=1. Ora per soddisfare il limite prova ad imporre che la divisione tra i polinomi $1/6x^3+cx+1$ e $x+1$ dia 0 come resto.
L'idea chiave è quindi che la divisione deve dare $0$ come resto?
La mia non è buona?
"luca.barletta":
però così $f''(0)!=0$
perchè erroneamente avevo fatto $f^('')(0)=1$
"Ainéias":
[quote="luca.barletta"]imponendo $f''(0)=0$, si trova b=0, imponendo le $f(0)=f'''(0)=1$ si trova a=1/6 e d=1. Ora per soddisfare il limite prova ad imporre che la divisione tra i polinomi $1/6x^3+cx+1$ e $x+1$ dia 0 come resto.
L'idea chiave è quindi che la divisione deve dare $0$ come resto?
La mia non è buona?[/quote]
anche il tuo procedimento va bene
"luca.barletta":
[quote="Ainéias"][quote="luca.barletta"]imponendo $f''(0)=0$, si trova b=0, imponendo le $f(0)=f'''(0)=1$ si trova a=1/6 e d=1. Ora per soddisfare il limite prova ad imporre che la divisione tra i polinomi $1/6x^3+cx+1$ e $x+1$ dia 0 come resto.
L'idea chiave è quindi che la divisione deve dare $0$ come resto?
La mia non è buona?[/quote]
anche il tuo procedimento va bene[/quote]
Va bene ma...non so spiegarmi il perchè!mi è venuto sto flash e ho fatto così.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo