Quesiti

[Sk_Anonymous]

Per quali valori di $a,binRR$ la funzione:

$f(x)={(e^(2(x-1)),x<=1),(ax+b,x>1):}$

è di classe $C^1(RR)$ ?

Dire se le funzioni $f(x)=ln(1+x^2)$, $g(x)=ln(1-x^3)$ sono lipschitziane in $RR$.

Sia $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, $"con"$ $x$ $"reale"$. Determinare $a,b,c,d$ reali tali che $f^{\prime}$ abbia un estremo relativo in $x=0$, $lim_(x->-1)f(x)/(x+1) in RR$,$f(0)=f^(''')(0)=1$

[giuseppe87x]

"Kroldar":[quote="Ainéias"]
Dire se le funzioni $f(x)=ln(1+x^2)$, $g(x)=ln(1-x^3)$ sono lipschitziane in $RR$.

$f(x)$ è derivabile in tutto $RR$ e la sua derivata prima è limitata, sicché $f(x)$ è lipschitziana in $RR$

$g(x)$, non essendo definita in tutto $RR$, non può essere lipschitziana in esso[/quote]

Vorrei fare una domanda. La condizione sufficiente per la lipschitzianità deriva dal teorema di Lagrange e dunque a rigore è corretto dire che la $f(x)$ di cui sopra è lipscitziana in un intervallo $(a, b)$ in cui essa sia derivabile.. E' corretto dire che essa è lipscitziana anche in tutto $RR$?

[Fioravante Patrone1]

"giuseppe87x":
Vorrei fare una domanda. La condizione sufficiente per la lipschitzianità deriva dal teorema di Lagrange e dunque a rigore è corretto dire che la $f(x)$ di cui sopra è lipscitziana in un intervallo $(a, b)$ in cui essa sia derivabile.. E' corretto dire che essa è lipscitziana anche in tutto $RR$?

si, non c'è problema
perché per ottenere la maggiorazione di $|f(x_1) - f(x_2)|$ applichi Lagrange all'intervallo $[x_1,x_2]$ (se $x_1 < x_2$...)

naturalmente sto supponendo $f$ derivabile su $RR$ e con derivata limitata su $RR$, ma mi pare che tu assumessi queste ipotesi


se non ammetti che la derivata è limitata su $RR$ non ce la fai (la risposta te la darà Kroldar quando avrà fatto l'esercizio che gli ha rimbalzato Camillo )

[giuseppe87x]

Bene, grazie prof. Per curiosità, qual è l'esercizio di Camillo?

[Fioravante Patrone1]

"giuseppe87x":Bene, grazie prof.

prego, stud.

"giuseppe87x":Per curiosità, qual è l'esercizio di Camillo?

mi riferisco alla domanda di Kroldar su $x^2$ e alla risposta di Camillo in questo stesso thread
è uno degli esempi più semplici che si possano fare di funzione derivabile su $RR$ (e con derivata continua) ma non lipschitziana (anzi, neanche uniformemente continua)

[giuseppe87x]

Se consideriamo ad esempio i punti $x_(n)=n+1/n$ e $y_(n)=n$, $ninNN$ si ha $|x_(n)-y_(n)|=1/n->0$ mentre $|f(x_(n))-f(y_(n))|>=2$.