Quesiti

[Sk_Anonymous]

Dimostrare che
i) $lim_(x->0^+)(x^2cotgx+senx)^(1/lnx)=e$

ii) $lim_(x->0^+)(sqrt(2x+x^2)-log(1+x^2))/(root3(xsenx)+(1-e^x)arctgx)=+infty

Dire per quali valore di $lambda$ il seguente infinitesimo,per $x->0$: $beta(x)=x^2-lambda^2sin(x^2)+x^6$,

è dello stesso ordine rispetto a $alpha(x)=x^6(1-lambda)$

[fireball1]

Per il primo limite non c'è problema, è sufficiente
sviluppare al primo ordine la base della potenza,
ottenendo per $x->0^+$:
$x^2cotx=x^2/tanx=(x^2)/(x+o(x))=(x^2)/(x(1+o(1)))=x/(1+o(1))=x+o(x)
$sinx=x+o(x)
Per cui la base della potenza va a zero come $2x$. Ora scriviamo:
$lim_(x->0^+) e^(1/lnx ln(2x)) = lim_(x->0^+) e^((ln2+lnx)/lnx)
ed ora è evidente come il numeratore dell'esponente tenda ad 1 per $x->0^+$,
infatti basta porre $lnx=y$ ed ottenere $lim_(y->-oo) e^((ln2+y)/y) = e^1=e

[fireball1]

Osserviamo prima di tutto che $alpha(x)$ è un infinitesimo di ordine 6 per $x->0$ se $lambda!=1$.
Determiniamo ora l'ordine di infinitesimo di $beta(x)$ per $x->0$:
$x^2-lambda^2sin(x^2)+x^6=x^2-lambda^2(x^2-(x^2)^3/(3!)+o((x^2)^3))+x^6=x^2-lambda^2x^2+(lambda^2/6 +1)x^6+o(x^6) = (1-lambda^2)x^2+(lambda^2/6+1)x^6+o(x^6)
Da questo sviluppo si può osservare che: se $lambda=+-1$ (valori di $lambda$ che annullano
il coefficiente di $x^2$) allora $beta(x)$ è un infinitesimo di ordine 6, però per $lambda=1$ la funzione
$alpha(x)$ diventa identicamente nulla. Quindi per avere lo stesso ordine di infinitesimo,
dev'essere necessariamente $lambda=-1$: infatti, per tale valore di $lambda$ si annulla il coefficiente di $x^2$
nell'espressione di $beta(x)$, ma non si annulla il coefficiente di $x^6$ nell'espressione di $alpha(x)$,
e ciò fa sì che entrambe le funzioni siano infinitesime di ordine 6 per $x->0$.

[Sk_Anonymous]

Come al solito il messaggio di notifica della tua risposta non mi è arrivato....boh

Grazie