Quanti sono gli zeri di una funzione

[_Matteo_C1]

Ciao ragazzi, ho bisogno di un consiglio per risolvere esercizi di questo tipo:
Data $f(x) = x^7 /42 - x^2 /2 + x$
dire se esistono e quanti sono gli zeri di $f(x)$.

Ho ragionato così:
il limite per x tendente a + infinito e - infinto mi restituisce + infinito e - infinito dunque per il teorema d'esistenza degli zeri esiste almeno uno zero della funzione. Poi ho calcolato la derivata prima, e la derivata seconda. La derivata prima per x tendente a + o - infinito tende a + infinito, e la derivata seconda si annulla in un solo punto $x=1$, a destra del quale è positiva e a sinistra negativa: ciò significa che la derivata prima presenta un punto di minimo assoluto in $x=1$. Calcolo la derivata prima in corrispondenza del minimo assoluto, se è positiva allora la derivata prima è sempre positiva e non si annulla mai, se è negativa allora presenta due zeri. Siccome risulta positiva, la funzione è strettamente crescente dunque esiste un unico zero.

Il risultato viene corretto ma non so se il procedimento è quello piu conveniente. Come si può procedere in generale per risolvere un esercizio di questo tipo?
Grazie.

[ciampax]

Mi sembra giusto (anche se non scritto proprio chiaro chiaro, eh!) Il metodo comunque è questo.