Quando un insieme si dice connesso - aperto
Eccomi ancora qui con i miei stupidi dubbi.
Leggevo la definizione di insieme connesso:
A dicesi connesso se non esistono due aperti H,K disgiunti tali che:
1)$H nn A !=$ dall'insieme vuoto
2)$K nn A !=$ dall'insieme vuoto
3)$A sub H sub K$
Ma già alla prima frase non capisco qualcosa:
Un insieme si dice Aperto se contiene solo punti interni,giusto? Ovverro se comunque prendo un intorno del punto questo è interamente contenuto nell'insieme? Quindi come possono esistere due aperti disgiunti? Essendo aperti non devono obbligatoriamente contenere tutti i punti?
Grazie come al solito
Leggevo la definizione di insieme connesso:
A dicesi connesso se non esistono due aperti H,K disgiunti tali che:
1)$H nn A !=$ dall'insieme vuoto
2)$K nn A !=$ dall'insieme vuoto
3)$A sub H sub K$
Ma già alla prima frase non capisco qualcosa:
Un insieme si dice Aperto se contiene solo punti interni,giusto? Ovverro se comunque prendo un intorno del punto questo è interamente contenuto nell'insieme? Quindi come possono esistere due aperti disgiunti? Essendo aperti non devono obbligatoriamente contenere tutti i punti?
Grazie come al solito
Risposte
No, aspetta. Un insieme $A$ si dice aperto se $AA x in A EE U_x$ intorno di x tale che $U_x sub A$. Il punto di cui vuoi l'intorno lo devi prendere appartenente ad $A$.
"nato_pigro":
No, aspetta. Un insieme $A$ si dice aperto se $AA x in A EE U_x$ intorno di x tale che $U_x sub A$. Il punto di cui vuoi l'intorno lo devi prendere appartenente ad $A$.
Se il punto lo prendo appartenente ad A non è banale che esista sempre un intorno ivi contenuto? Tra il punto e la "fine di A" non esisterà sempre un r tale che se prendo un intorno di raggio r questo è contenuto in A? Che so se ad es. un punto dista x dalla fine di A prendo un intorno pari a x/2...
dove sta l'errore in queste sciocchezze che ho detto?
Prova a prendere $A$ ridotto a un punto. Questo è il caso limite.
Altrimenti prendi l'intervallo $(0,1]$ non è nè aperto nè chiuso.
Altrimenti prendi l'intervallo $(0,1]$ non è nè aperto nè chiuso.
Un aperto non è un'insieme in cui non vi è frontiera?
E se non vi è frontiera non vi sono dunque infiniti elementi?
E se non vi è frontiera non vi sono dunque infiniti elementi?
allora, prendi $(0,1)$, hai familiarità con questa scrittura?
sono gli $x in RR$ tali che $x<1$ e $x>0$. Questo è un aperto di $R$.
se prendi $[0,1]$
sono gli $x in RR$ tali che $x=<1$ e $x>=0$. Questo è un chiuso di $R$.
Prova a verificarlo applicando la definizione
sono gli $x in RR$ tali che $x<1$ e $x>0$. Questo è un aperto di $R$.
se prendi $[0,1]$
sono gli $x in RR$ tali che $x=<1$ e $x>=0$. Questo è un chiuso di $R$.
Prova a verificarlo applicando la definizione
chiarissimo grazie!
Adesso invece mi piacerebbe capire bene cosa è un connesso.. provo a riflettere sulla definizione ma non mi risulta facile.
E non mi risulta nemmeno facile capire perchè se f è continua e A è connesso f(A) è connesso
Grazie sempre in anticipo
E non mi risulta nemmeno facile capire perchè se f è continua e A è connesso f(A) è connesso
Grazie sempre in anticipo
"Connesso" vuol semplicemente dire che "è fatto da un solo pezzo"... Che poi la formalizzazione del concetto sia un po' più complicata è solo un fatto tecnico.
Se fai un lavoro d'interpretazione, scopri che dietro (quasi) tutti i concetti topologici di base ci sono idee semplicissime.
Se fai un lavoro d'interpretazione, scopri che dietro (quasi) tutti i concetti topologici di base ci sono idee semplicissime.
Che è fatto di un solo pezzo, nel senso che è un solo intervallo?
Tipo $I=[0,1)$ e $I=[-8,infty]$ sono connessi mentre $I=[-2,4)U[5,9]$ non è connesso?
P.s. mi puoi aiutare, non con dimostrazione analitica, non è necessario, ma a parole con l'altro dubbio? Ovvero perchè se f è continua è A è connesso f(A) è connesso?
P.s. con f(A) si intende l'insieme l'intero codominio giusto? Quindi sarebbe: "se il dominio è connesso e la funzione è continua allora il codominio è connesso"?
Tipo $I=[0,1)$ e $I=[-8,infty]$ sono connessi mentre $I=[-2,4)U[5,9]$ non è connesso?
P.s. mi puoi aiutare, non con dimostrazione analitica, non è necessario, ma a parole con l'altro dubbio? Ovvero perchè se f è continua è A è connesso f(A) è connesso?
P.s. con f(A) si intende l'insieme l'intero codominio giusto? Quindi sarebbe: "se il dominio è connesso e la funzione è continua allora il codominio è connesso"?
"playbasfa":
Che è fatto di un solo pezzo, nel senso che è un solo intervallo?
In $RR$ sì, poiché infatti sono connessi in $RR$ tutti e soli gli intervalli.
In $RR^n$, no, poiché ad esempio il cerchio unitario di $RR^2$ è connesso pur non essendo un intervallo.
"playbasfa":
Tipo $I=[0,1)$ e $I=[-8,infty]$ sono connessi mentre $I=[-2,4)U[5,9]$ non è connesso?
Esatto, in virtù della caratterizzazione dei connessi di $RR$ che ho detto prima.
"playbasfa":
P.s. con f(A) si intende l'insieme l'intero codominio giusto? Quindi sarebbe: "se il dominio è connesso e la funzione è continua allora il codominio è connesso"?
Preferisco la seguente terminologia: se $f:A\to B$, allora chiamo:
- $A$ dominio (o insieme di definizione) di $f$;
- $B$ codominio di $f$;
- $f(A)\subseteq B$ immagine di $A$ mediante $f$ o, brevemente, immagine di $f$.
Usando questa terminologia il teorema si esprime dicendo: "l'immagine di un connesso mediante una funzione continua è un connesso".
"playbasfa":
P.s. mi puoi aiutare, non con dimostrazione analitica, non è necessario, ma a parole l'altro dubbio? Ovvero perchè se f è continua e A è connesso f(A) è connesso?
Una spiegazione decente te la posso dare solo se mi dici, precisamente, un po' di cose supplementari.
Studi funzioni di una o di più variabili? O addirittura stai facendo le cose da un punto di vista topologico generale?
La definizione di connesso che hai è solo quella topologica generale ("non esistono due aperti non vuoti disgiunti...")?
Hai studiato il teorema dei valori intermedi in Analisi I (se $f$ è continua in un intervallo, allora l'immagine di $f$ è un intervallo; o, in altre parole, se $f$ è continua in un intervallo allora essa assume tutti i valori tra $"inf "f$ e $"sup "f$)?
Tieni presente che i due insiemi $H$ e $K$ devono essere aperti NELLA TOPOLOGIA DI $A$ - se $A$ e' un sottoinsieme di $RR^n$ questo e' diverso da dire che
$H$ e $K$ sono aperti.
Per esempio l'insieme $A={0,}\cup{1}$ fatto da due punti distiniti non e' connesso - in questo caso $H={0}$ e $K={1}$ sono due aperti di $A$ in quanto sono intersezione con $A$ di
aperti di $RR$ (per esempio $H=(-1/2,1/2)\cap A$ ).
$H$ e $K$ sono aperti.
Per esempio l'insieme $A={0,}\cup{1}$ fatto da due punti distiniti non e' connesso - in questo caso $H={0}$ e $K={1}$ sono due aperti di $A$ in quanto sono intersezione con $A$ di
aperti di $RR$ (per esempio $H=(-1/2,1/2)\cap A$ ).
"Gugo82":
[quote="playbasfa"]Che è fatto di un solo pezzo, nel senso che è un solo intervallo?
Studi funzioni di una o di più variabili? O addirittura stai facendo le cose da un punto di vista topologico generale?
La definizione di connesso che hai è solo quella topologica generale ("non esistono due aperti non vuoti disgiunti...")?
Hai studiato il teorema dei valori intermedi in Analisi I (se $f$ è continua in un intervallo, allora l'immagine di $f$ è un intervallo; o, in altre parole, se $f$ è continua in un intervallo allora essa assume tutti i valori tra $"inf "f$ e $"sup "f$)?[/quote]
Grazie fin qui tutto molto chiaro.
Si, studio funzioni di due variabili e all'inizio ci ha dato concetti topologici in maniera generale, ad es. cosa è un punto di accumulazione cosa è il derivato di un insieme, quando un insieme si dice aperto/chiuso, cosa è la frontiera di un insieme, quando un insieme si dice limitato, quando una funzione si dice limitata e appunto quando un insieme si dice connesso.
Per quanto riguarda il teorema, si da analisi I lo ricordo.. se f è continua in un compatto, allora assume tutti i valori compresi tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore, giusto?
"playbasfa":
Per quanto riguarda il teorema, si da analisi I lo ricordo.. se f è continua in un compatto, allora assume tutti i valori compresi tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore, giusto?
Giusto se il dominio di $f$ e' un intervallo $[a,b]$ (come si fa spesso), ma questo enunciato in realta' contiene due fatti
1) $f$ continua manda compatti in compatti (ergo l'esistenza del massimo e minimo)
2) $f$ continua manda connessi in connessi (e quindi assume tutti i valori compresi)
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