Quando si usa tale metodo
Salve a tutti,sto studiando le equazioni a derivate parziali e vorrei riuscire a capire quando sideve usare il metodo delle separazioni delle variabili o meglio ci devono essere delle limitazioni sul dominio in cui sono definite le mie variabili ?
In particolare vorrei capire questo esercizio : detrminare la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet
$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} (x,t)+ 2\frac{\partial u}{\partial x} (x,t)-\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}(x,t)=0 $ in $ (0,\pi)$X$(0,\infty) $
$ u(0,t)=u(\pi,t)=0 $ in $ [0,\infty) $ , $ u(x,0)=x cos x , u_t(x,0)=0 $ in $ [0,\pi] $
La risoluzione dice che : il probelma è omogeneo con condizioni alla frontiera dispari ,questo suggerisce di cercare uno sviluppo in serie di soli seni,cioè di scrivere la soluzione come $ u(x,t)=sum_{n=1}^\infty u_n(t)sen nx $,con le $ u_n $ da determinare,poi si sostituisce il tutto nell'eqauzione,si utilizzano le condizioni iniziali date ecc ecc...ma cosa vuol dire che le condizioni alla frontiera sono dispari ? da cosa lo capisco ?
Grazie!
In particolare vorrei capire questo esercizio : detrminare la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet
$ \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} (x,t)+ 2\frac{\partial u}{\partial x} (x,t)-\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}(x,t)=0 $ in $ (0,\pi)$X$(0,\infty) $
$ u(0,t)=u(\pi,t)=0 $ in $ [0,\infty) $ , $ u(x,0)=x cos x , u_t(x,0)=0 $ in $ [0,\pi] $
La risoluzione dice che : il probelma è omogeneo con condizioni alla frontiera dispari ,questo suggerisce di cercare uno sviluppo in serie di soli seni,cioè di scrivere la soluzione come $ u(x,t)=sum_{n=1}^\infty u_n(t)sen nx $,con le $ u_n $ da determinare,poi si sostituisce il tutto nell'eqauzione,si utilizzano le condizioni iniziali date ecc ecc...ma cosa vuol dire che le condizioni alla frontiera sono dispari ? da cosa lo capisco ?
Grazie!
Risposte
Dal fato che le funzioni definite sulla frontiera sono funzioni dispari (in particolare $x\cos x$ è dispari) e questo ti assicura che la soluzione generale deve essere dispari.
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