Quando $f$ è derivabile

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ansioso

27 gen 2011, 18:40

da teoria una funziona è derivabile quando

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =f'(x_0)$ $\forall x_0 in (a,b)$

In pratica vedo che si utilizza anche un'altro metodo... ovvero calcolarne la derivata e vedere se quest'ultima è continua! (in quanto si narra sui libri di analisi che se è derivabile deve esser perforza continua)

Per vedere che è continua da teoria bisognerebbe verificare che

$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$ $\forall c in [a,b]$

ora... considerando sempre la presenza di un limite da svolgere quale metodo è preferibile usarE?

ad esempio

Sia $f(x)=artcg(x)+artg(1/x)$. La funzione è derivabile in R\{0}...
come è possibile che la prof abbia fatto uno di quei due procedimenti a mente, determianndo l'intervallo in cui è derivabile??

tra l'altro l' h del rapporto incrementale deve esser arbitrario e 0

Risposte

salvozungri

27 gen 2011, 17:49

"ansioso":
da teoria una funziona è derivabile quando

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =f'(x_0)$ $\forall x_0 in (a,b)$

In pratica vedo che si utilizza anche un'altro metodo... ovvero calcolarne la derivata e vedere se quest'ultima è continua! (in quanto si narra sui libri di analisi che se è derivabile deve esser perforza continua)

Per vedere che è continua da teoria bisognerebbe verificare che

$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$ $\forall c in [a,b]$

Il concetto è espresso male, cerca di essere più preciso, in particolare la parte rossa e la parte blu dicono due cose diverse...

"ansioso":
[...]
Sia $f(x)=artcg(x)+artg(1/x)$. La funzione è derivabile in R\{0}...
come è possibile che la prof abbia fatto uno di quei due procedimenti a mente, determianndo l'intervallo in cui è derivabile??

Qui è sufficiente ricordare che "se una funzione $f$ è derivabile in $x_0$ allora è continua in $x_0$". Adesso prova a fare la contronominale della frase tra virgolette. Che cosa ottieni?

"ansioso":
tra l'altro l' h del rapporto incrementale deve esser arbitrario e 0

L'$h$ nel rapporto incrementale deve essere arbitrariamente piccolo, quindi senza perdita di generalità posso anche dire che $0

pater46

27 gen 2011, 17:50

No, quell'$h$ è un reale. Tanto, comunque, deve tendere a 0.

E' molto più comodo il secondo metodo: il primo è utilizzato solo quando, ad esempio, vuoi determinare il tipo di punto in cui non è derivabile ( angoloso, cuspide.. )

Col secondo metodo, intanto ti trovi la $f'$: il suo dominio sarà il luogo dei punti in cui la $f$ è derivabile.

fireball1

27 gen 2011, 17:57

Una precisazione sul titolo del topic: dovrebbe essere "Quando $f$ è derivabile" e non $f(x)$.
Non confondiamo l'immagine di $x$ tramite la funzione $f$ (cioè $f(x)$, appunto), con la funzione stessa $f$.
Ciò che si deriva è $f$, non $f(x)$. Inoltre $f'(x)$ non è la derivata di $f(x)$ ma è il valore di $f'$ (derivata di $f$) in $x$.

dissonance

27 gen 2011, 18:20

Comunque questa è una domanda che ricorre sempre, e sempre emergono delle imprecisioni e dei fraintendimenti.

Consiglio:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#482708

ansioso

27 gen 2011, 18:22

quindi quell'$h$ lo devo sempre considerare per il limite di $x \to h$ ovvero a $x \to 0^+$ SI effettivamente il primo metodo sembrerebbe più antipatico per via di questo h!

Col secondo metodo, intanto ti trovi la f': il suo dominio sarà il luogo dei punti in cui la f è derivabile.

Quindi se mi vien detto dato la funzione verifica se è derivabile in [-2;2]!
$y=x^2-x$
mi calcolo in primis la derivata
$y'=2x-1$
mi calcolo il dominio $D: \forall x in R$ dunque anche $[-2;2]$
Dunque y è derivabile in $[-2;2]$ e di conseguenza sarà anche continua in tutto $R$ e $[-2;2]$...
non c'è bisogno che mi faccio

$\lim_{x \to x_0} f(x)=f'(x_0)$ questo ovviamente per ogni punto di R o dell'intervallo il che sarebbe umanamente impossibile

Fosse stata $y=x^2-1/x$ derivabile in $I=[-2;2]$
$y'=2x+1/x^2$ con dominio $D: \forall x!=0$
Allora y continua e derivabile in D, e non in I!

Giusto?

dissonance

27 gen 2011, 18:32

Ecco voglio essere più specifico:

"pater46":
Col secondo metodo, intanto ti trovi la $f'$: il suo dominio sarà il luogo dei punti in cui la $f$ è derivabile.

ansioso

28 gen 2011, 09:32

dissonance grazie per il link che mi ha fatto viaggiar a ritroso nel tempo...

ma ancora non mi è chiara una cosa... ok assodato che il secondo metodo è applicabile solo quando f è continua in tutto l'intervallo incluso il punto $x_0$...

Per vedere che è derivabile e/o continua in un intervallo come dovrei comportarmi?

dissonance

28 gen 2011, 10:02

Gli strumenti a tua disposizione negli esercizi sono sempre gli stessi: il fatto che le funzioni elementari (intendo polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche) sono sempre continue e infinitamente derivabili ove definite e il fatto che somme e prodotti di funzioni continue/derivabili sono funzioni continue/derivabili.

Per la verifica della continuità di una funzione

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#416776

Per la verifica della derivabilità

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#469504

Se questi post non ti sono chiari puoi consultare anche altri utenti. Rigel ad esempio propone una sintesi qui:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#478686

Più in generale la funzione Cerca è una vera miniera di informazioni su queste cose.

pater46

28 gen 2011, 10:06

"dissonance":
Ecco voglio essere più specifico:
[quote="pater46"]Col secondo metodo, intanto ti trovi la $f'$: il suo dominio sarà il luogo dei punti in cui la $f$ è derivabile.

No. Secondo me questo è un errore. Matematicamente non ha senso, si stanno facendo le cose alla rovescia: per definizione, l'insieme di definizione di $f'$ è l'insieme di derivabilità di $f$, cosa significa fare le cose al contrario? E' un trucco pratico che funziona (ma non sempre) ma che poggia su un errore di comprensione del concetto di derivabilità e di dominio di una funzione, tipico purtroppo delle scuole superiori.

Riferimento: il link di prima

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#482708

seguire anche il link contenuto in questo post.[/quote]

Mmm.. ma quindi scusami, per studiare gli intervalli in cui una funzione è derivabile, bisogna verificare l'esistenza dei limiti punto per punto? Non ti seguo.
Tecnicamente questo metodo ( direi più veloce, ma effettivamente non ho capito di quale altro metodo ) funziona, a meno dei punti di discontinuità della funzione originaria.. Mmm..

Ho seguito i link e letto sommariamente i contenuti, appena torno a casa faccio alcune prove.. Mi ha incuriosito queto problema.

dissonance

28 gen 2011, 10:20

No pater è un errore concettuale, oltre che un fatto pratico. Che significa dire "trovare il dominio di $f'$ "? Matematicamente, niente. Il dominio di $f'$ è l'insieme dei punti di derivabilità, quando conosci questo insieme conosci pure il dominio: ma se tu stai indagando sull'insieme di derivabilità significa che ancora non lo conosci. Concettualmente quindi c'è un corto circuito.

Cerchiamo di analizzare quello che tu fai quando "calcoli il dominio di $f'$". Hai una funzione definita in termini di funzioni elementari (diciamo, per esempio $f(x)=e^{-|x|}$), di cui sai calcolare la derivata in tutti i punti "tranquilli", quelli cioè in cui senza alcun dubbio la funzione è derivabile (teoria). Ti risulta una funzione $f'(x)$, in questo caso $f'(x)=-"sign"(x)e^{-|x|}$, definita in un certo insieme che tipicamente è un intervallo con uno o due buchi. Tu ti metti quindi ad indagare sulla continuità di $f'$, cercando di capire se si può prolungare per continuità in questi buchi: se la risposta è "si", allora i buchi vengono a fare parte dell'insieme di derivabilità di $f$, altrimenti no. Nel caso in esame la risposta è "no": $f'$ non si può prolungare per continuità in $0$ e quindi, concludi, $f$ non è derivabile in $0$.

Bene, questo metodo è sbagliato. Prova ad applicarlo alla funzione [url=http://it.wikipedia.org/wiki/File:Dirac_distribution_CDF.png]gradino di Heaviside[/url]. Ne concluderesti che essa è derivabile nello $0$. E che dire di

$\{(x^2sin(1/x), x\ne0), (0, x=0):}$

Questo metodo concluderebbe che questa funzione non è derivabile nello $0$. Per non parlare della totale inapplicabilità di questa "tecnica" a funzioni definite in modo più involuto, per esempio come limite di serie di funzioni, come funzioni integrali, come soluzioni di equazioni differenziali...

pater46

28 gen 2011, 10:36

Ok. Prendiamo in esame l'ultima funzione da te postata.

E' prolungata per continuità in 0.. Eppure, la derivata prima è discontinua in 0.

$d/(dx)(x^2 sin(1/x)) = 2 x sin(1/x)-cos(1/x) $

Col limite del rapporto incrementale otterremo:

$lim_{h->0} \frac{(h)^2sin(1/(h))}{h} = 0$

Dunque effettivamente è derivabile in 0. Mmm.. dunque praticamente il dominio della derivata prima è valido, tranne nei punti in cui la funzione è definita per continuità, o a tratti.. ?

Cioè, parlando chiaramente, ogni volta che devo definire sto insieme di derivabilità non posso mica calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto di $RR$! Il problema si presenta solo in questi punti.. per così dire.. topici, no?

ansioso

28 gen 2011, 10:53

"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/post469504.html#469504

D'accordo ho letto e forse anche compreso!

Provo con un esempio...

data la funzione $f=x^2 - 1/x$

Primo metodo: Applico la formula del rapporto incrementale:

$\lim_ {x \to 0} \frac{(x^2 - 1/x +0)-(x^2 - 1/x)}{0}=\frac{(0 - \infty +0)-(0 - \infty)}{0}=\infty/0 $ Non essendo finito, il liminte, questa f non è derivabile in $x_0$, mentre risulta essere derivabile, dunque anche continua in $(-\infty;0)U(0;+\infty)$

Secondo metodo: Mi calcolo $f'=2x+1/x^2$ Da qui devo verificare il suo campo di esistenza che risulta essere $D: \forall x!=0$ in quanto si annula in denominatore! Verifico adesso se $f'$ può essere prolungata per continuità in $x=0$ (ci fossero stati altri intervalli avrei dovuto verificare per ogni punto di estremo degli intervalli giusto? tipo $[a,b]U[b,c)$ verifico per $a^+,b^-,b^+,c$)

$\lim_ {x \to 0^-} 2x + 1/x^2=0+\infty=\infty$ e già qui... ma continuo per completezza $\lim_ {x \to 0^+} 2x + 1/x^2=0+\infty=\infty$

Non essendo finiti i limiti, e non essendo dunque prolungabile $f'$, $x=0$ risulta essere un punto di discontinuità per $f$

Deducendo da entrambi i membri che f è derivabile in $R\{0}$

ansioso

28 gen 2011, 10:59

Cioè, parlando chiaramente, ogni volta che devo definire sto insieme di derivabilità non posso mica calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto di ℝ!

è la mia stessa perplessità

orazioster

28 gen 2011, 11:15

Cioè, parlando chiaramente, ogni volta che devo definire sto insieme di derivabilità non posso mica calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto di ℝ!

Invece sì, concettualmente.
La derivata è definita come /limite (finito)/.
Ovviamente non è che devi esplicitamente calcolarlo per tutto il dominio di $f$ per
sapere che esista finito!

ansioso

28 gen 2011, 11:19

"orazioster":
Cioè, parlando chiaramente, ogni volta che devo definire sto insieme di derivabilità non posso mica calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto di ℝ!

Invece sì, concettualmente.
La derivata è definita come /limite (finito)/.
Ovviamente non è che devi esplicitamente calcolarlo per tutto il dominio di $f$ per
sapere che esista finito!

dìaccordo dal punto di vista teorico... ma in sede d'esame che scrivo sul foglio al prof? che l'importante è che so il concetto?

dissonance

28 gen 2011, 12:35

Pater, io ho l'impressione che tu tenda a considerare una funzione come una espressione analitica. Quindi per esempio quando vedi

$f(x)=\{(x^2sin(1/x), x\ne0), (0, x=0):}$

inconsciamente pensi che quelle siano "due" funzioni appiccicate. Questo è l'errore. Così si ragionava nel Settecento, finché poi nel secolo successivo non ci si è resi conto che in questa maniera non si andava da nessuna parte. Appena si è realizzato questo, è scattato un diluvio di progressi nell'analisi matematica, come se si fosse tolto un tappo.

Vediamo di toglierlo pure noi questo tappo. $f$ è una funzione sola, definita per ogni $x$ reale. Quindi il dominio di $f$ è $RR$. Domanda 1: In quali punti $f$ è continua? Risposta: $f$ è certamente continua in ogni $x\ne 0$, perché coincide su tutto un intorno di $x$ con una composizione di funzioni elementari. Per $x=0$ è necessaria una analisi locale:

$lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x\to 0} x^2 sin(1/x)$ (perché? perché il comportamento al limite di una funzione non dipende dal valore che essa assume nel punto in questione)

quindi $lim_{x \to 0} f(x)=f(0)$ e $f$ è continua.

Domanda 2: In quali punti $f$ è derivabile? Risposta: con lo stesso ragionamento di sopra notiamo subito che $f$ è derivabile per ogni $x\ne0$. Calcolando il limite del rapporto incrementale poi osserviamo che essa è derivabile pure per $x=0$.

Chiaro che in genere non vai a scrivere tutto questo, ma invece scrivi qualcosa tipo: "è evidente che $f$ è continua e derivabile per ogni $x!=0$, verifichiamo che succede per $x=0$". Però il ragionamento che fai è strutturato in questa maniera. E questa forma mentis ti permette di estenderti subito al caso di funzioni definite in modo non elementare, che - ti avviso, ma probabilmente lo sai già - nelle applicazioni spuntano come i funghi. Solo negli esercizi di Analisi 1, preconfezionati dall'esaminatore il giorno prima, le funzioni coinvolte sono tutte elementari.

salvozungri

28 gen 2011, 13:19

"ansioso":

D'accordo ho letto e forse anche compreso!

Provo con un esempio...

data la funzione $f=x^2 - 1/x$

Primo metodo: Applico la formula del rapporto incrementale:

$\lim_ {x \to 0} \frac{(x^2 - 1/x +0)-(x^2 - 1/x)}{0}=\frac{(0 - \infty +0)-(0 - \infty)}{0}=\infty/0 $ Non essendo finito, il liminte, questa f non è derivabile in $x_0$, mentre risulta essere derivabile, dunque anche continua in $(-\infty;0)U(0;+\infty)$

ansioso

28 gen 2011, 16:14

"Mathematico":
[quote="ansioso"]
D'accordo ho letto e forse anche compreso!

Provo con un esempio...

data la funzione $f=x^2 - 1/x$

Primo metodo: Applico la formula del rapporto incrementale:

$\lim_ {x \to 0} \frac{(x^2 - 1/x +0)-(x^2 - 1/x)}{0}=\frac{(0 - \infty +0)-(0 - \infty)}{0}=\infty/0 $ Non essendo finito, il liminte, questa f non è derivabile in $x_0$, mentre risulta essere derivabile, dunque anche continua in $(-\infty;0)U(0;+\infty)$

La formula che applichi è [tex]$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/tex] ? Come fai a valutare la funzione f in 0? Comunque non hai risposto alla mia richiesta. Se f è derivabile in $x_0$ allora f è continua in $x_0$, facendo la contronominale, ottieni che se la funzione non è continua in $x_0$ allora non è derivabile in $x_0$. In questo caso la funzione [tex]f(x)= x^2-\frac{1}{x}[/tex] non è continua per [tex]x=0[/tex], di conseguenza [tex]f[/tex] non è derivabile in tale punto.[/quote]
cerco di applicare questa https://www.matematicamente.it/forum/cal ... tml#469504

$\lim_ {h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ e dato che abbiamo detto che h tende a 0 sempre, se il limite è finito allora f è derivabili altrimenti non lo è!

$\lim_ {h \to 0} \frac{((x+0)^2 - 1/(x+0) )-(x^2 - 1/x)}{0}=\frac{( 0 )}{0}=$ mi verrebbe da usare dell'hopital ma mi accorgo che sto a scrivere fesserie...

oddio non ci sto capendo più niente...

salvozungri

28 gen 2011, 16:49

Nomen omen

Non essere ansioso, perchè rischi di commettere errori

Partiamo dall'inizio, abbiamo una funzione $f(x)= x^2-\frac{1}{x}$, il cui dominio di definzione è [tex]D_f:=\left\{x\in\mathbb{R}: x\ne 0\right\}[/tex], e su questo non ci piove.
Verifichiamo come si comporta la funzione [tex]f[/tex] quando x tende a zero da destra e da sinistra.
[tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)= -\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0^-} f(x)= +\infty[/tex]

I due limiti non sono finiti e addirittura non coincidono, pertanto possiamo concludere che la funzione [tex]f[/tex] non è continua in 0, e per quello che ho detto prima non può essere nemmeno derivabile, è inutile andare a considerare il rapporto incrementale, anche perchè non saresti in grado di valutare la funzione in 0, cioè non puoi determinare [tex]f(0)[/tex], chiaro fin qui?

Sia ora [tex]x_0\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/tex] la funzione [tex]f[/tex] è sicuramente continua (perchè composizione di funzioni continue). Cerchiamo di verificare che la funzione è anche derivabile in [tex]x_0[/tex].
[tex]$
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \frac{(x_0+h)^2-\frac{1}{x_0+h}- x_0^2+ \frac{1}{x_0}}{h} =[\text{conti}]=\frac{h}{h} (h+2x_0+\frac{1}{h x_0+x_0^2})[/tex]

quindi:

[tex]$f_+'(x_0)= \lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{h\to 0^+} (h+2x_0+\frac{1}{h x_0+x_0^2})=2x_0+\frac{1}{x_0^2}[/tex].
Ti faccio notare che questa quantità è ben definita, assume un valore finito, visto che [tex]x_0\ne 0[/tex]

Similmente
[tex]$f_-'(x_0)= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{h\to 0^-} (h+2x_0+\frac{1}{h x_0+x_0^2})=2x_0+\frac{1}{x_0^2}[/tex]

Ora poichè [tex]$f_-'(x_0)= f_+'(x_0)[/tex] e sono entrambi quantità finite allora possiamo concludere che
[tex]$
f'(x_0)=f_-'(x_0)=f_+'(x_0) =2x_0+\frac{1}{x_0^2}\quad \forall x_0\ne 0[/tex]

cioè la funzione è derivabile per ogni punto del dominio.

orazioster

28 gen 2011, 17:12

"ansioso":
[quote="orazioster"]
Cioè, parlando chiaramente, ogni volta che devo definire sto insieme di derivabilità non posso mica calcolare il limite del rapporto incrementale per ogni punto di ℝ!

Invece sì, concettualmente.
La derivata è definita come /limite (finito)/.
Ovviamente non è che devi esplicitamente calcolarlo per tutto il dominio di $f$ per
sapere che esista finito!

dìaccordo dal punto di vista teorico... ma in sede d'esame che scrivo sul foglio al prof? che l'importante è che so il concetto?

[/quote]

Devi considerare tu, qualitativamente, dove esiste quel limite (ovvero: esistono finiti i limiti da destra e da sinistra e coincidono).

Intuitivamente -poichè sai che la tangente al grafico della funzione in un punto
ha per coefficiente angolare il valore della derivata, studiando qualitativamente
il grafico puoi "nasare" eventuali punti di non derivabilità -come
punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale.

Per esempio: $y=x^(1/3)$ è continua nell'origine, ma
lì non derivabile.

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