Quando $f$ è derivabile

[ansioso]

da teoria una funziona è derivabile quando

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =f'(x_0)$ $\forall x_0 in (a,b)$

In pratica vedo che si utilizza anche un'altro metodo... ovvero calcolarne la derivata e vedere se quest'ultima è continua! (in quanto si narra sui libri di analisi che se è derivabile deve esser perforza continua)

Per vedere che è continua da teoria bisognerebbe verificare che

$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$ $\forall c in [a,b]$

ora... considerando sempre la presenza di un limite da svolgere quale metodo è preferibile usarE?


ad esempio

Sia $f(x)=artcg(x)+artg(1/x)$. La funzione è derivabile in R\{0}...
come è possibile che la prof abbia fatto uno di quei due procedimenti a mente, determianndo l'intervallo in cui è derivabile??

tra l'altro l' h del rapporto incrementale deve esser arbitrario e 0

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Risposte

ansioso

28 gen 2011, 18:16

Nella prima parte hai assodato che f non è continua in x=0
Nella seconda hai verificato che f è derivabile dove f è continua... ovvero $R\{0}$
Trovato il range di continuità... si verifica se in esso f è derivabile

"Mathematico":Nomen omen Non essere ansioso, perchè rischi di commettere errori

Partiamo dall'inizio, abbiamo una funzione $f(x)= x^2-\frac{1}{x}$, il cui dominio di definzione è [tex]D_f:=\left\{x\in\mathbb{R}: x\ne 0\right\}[/tex], e su questo non ci piove.
Verifichiamo come si comporta la funzione [tex]f[/tex] quando x tende a zero da destra e da sinistra.
[tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)= -\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0^-} f(x)= +\infty[/tex]

I due limiti non sono finiti e addirittura non coincidono, pertanto possiamo concludere che la funzione [tex]f[/tex] non è continua in 0, e per quello che ho detto prima non può essere nemmeno derivabile, è inutile andare a considerare il rapporto incrementale, anche perchè non saresti in grado di valutare la funzione in 0, cioè non puoi determinare [tex]f(0)[/tex], chiaro fin qui?

Questo perchè la teoria dice che una funzione è continua se se è continua da destra e da sinistra... quindi il limite destro e sinistro sono finiti e conincidenti!
giusto?
volendo si poteva anche solamente scrivere $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ giusto? senza specificare se da destra o da sinistra....

Poi per la seconda parte... io mi sono perso sui conti ovvero tra i $[conti]$ a me vien fuori n'altra roba... ma sto abbastanza fuso in questo momento quindi assodo che quello che hai scritto è corretto!
Ma riepilogando senza fare conti (assodato anche che funzioni continue + funzioni continue danno funzioni continue) per verificare la derivabilità di f in $x_0$ hai fatto in due modi:

1. Sei andato a fare il limite del rapporto incrementale sostituendo opportunamente $f(x_0+h)$ a $f(x)$ e hai ottenuto un valore finito $f'(c)$ per ogni valore del dominio (quindi non dovrebbe essere derivabilein $x_0$??)

2. Ottenuta, o meglio, calcolata la derivata hai verificato che il limite destro e sinistro di $f'$ risulti finito e coincidente

o si fa 1 o si fa 2 si dovrebbe giungere alla medesima conclusione... corretto?

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salvozungri

28 gen 2011, 19:03

"ansioso":Nella prima parte hai assodato che f non è continua in x=0
Nella seconda hai verificato che f è derivabile dove f è continua... ovvero $R\{0}$
Trovato il range di continuità... si verifica se in esso f è derivabile
Questo perchè la teoria dice che una funzione è continua se se è continua da destra e da sinistra... quindi il limite destro e sinistro sono finiti e conincidenti!
giusto?

Sì.

"ansioso":
volendo si poteva anche solamente scrivere $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ giusto? senza specificare se da destra o da sinistra....

Il mio professore di analisi lo avrebbe considerato errore.

"ansioso":
Ma riepilogando senza fare conti (assodato anche che funzioni continue + funzioni continue danno funzioni continue) per verificare la derivabilità di f in $x_0$ hai fatto in due modi:

1. Sei andato a fare il limite del rapporto incrementale sostituendo opportunamente $f(x_0+h)$ a $f(x)$ e hai ottenuto un valore finito $f'(c)$ per ogni valore del dominio (quindi non dovrebbe essere derivabilein $x_0$??)

In realtà ho fatto il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale, mi sono accorto che questi coincidevano per ogni $x_0$ nel dominio. Io non ho ottenuto un valore finito $f'(c)$, ma un valore finito $f'(x_0)$, le due cose sono diverse, da qui traggo la conclusione che la funzione è derivabile nel dominio.
La scrittura $f'(c)$ non ha alcun senso finquando non mi dici che cosa è $c$ per te.

"ansioso":
2. Ottenuta, o meglio, calcolata la derivata hai verificato che il limite destro e sinistro di $f'$ risulti finito e coincidente

o si fa 1 o si fa 2 si dovrebbe giungere alla medesima conclusione... corretto?

Accipuffolina , ma cosa non ti è chiaro? In fin dei conti, la derivata prima di una funzione è un limite (del rapporto incrementale)! una funzione è derivabile in un punto $x_0$ se e solo se esistono finiti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale ed inoltre questi limiti devono coincidere.

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ansioso

29 gen 2011, 09:43

si scusa quel c è il punto $x_0$... è la notazione del libro!...

avresti un esercizio da sottopormi così magari lo svolgo sotto la tua supervisione credo di esserci!

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salvozungri

29 gen 2011, 16:24

Prova con la funzione $f(x) = |x|$
Indaga:
-dominio
-Insieme in cui la funzione è continua
-Insieme in cui la funzione è derivabile

Ragionaci, non è difficile.

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ansioso

29 gen 2011, 18:20

$D: (-\infty;+\infty)$

dunque da qui dovrei capire che ammette ogni valore e posso dire che è continua in R

Per la derivabilità dovrei fare così:
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\{(1 \ x>=0),(-1 \ x<0):}$
ma qui c'è quel $>=$ che non mi convince...xkè non dovrebbe essere derivabili in $x=0$


oppure mi calcolo la derivata e mi trovo il dominio?
$f'(x)=-1/x^2$ dunque derivabile per $x!=0$

(in questa maniera vedo che è un punto di cuspide... e dovrebbe essere la soluzione corretta!)

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salvozungri

30 gen 2011, 17:21

"ansioso":$D: (-\infty;+\infty)$

dunque da qui dovrei capire che ammette ogni valore e posso dire che è continua in R

Per la derivabilità dovrei fare così:
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\{(1 \ x>=0),(-1 \ x<0):}$
ma qui c'è quel $>=$ che non mi convince...xkè non dovrebbe essere derivabili in $x=0$


oppure mi calcolo la derivata e mi trovo il dominio?
$f'(x)=-1/x^2$ dunque derivabile per $x!=0$

(in questa maniera vedo che è un punto di cuspide... e dovrebbe essere la soluzione corretta!)

[tex]f(x):= \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{se }x\ge0 \\-x, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right[/tex]

Lavoriamo per passi per casi. Sia $x>0$ (nota il maggiore) allora [tex]f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h} = 1[/tex]
Per $x<0, $f'(x) = -1$.

Che succede in zero? E' necessario indagare.

[tex]$f_+'(0)=\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h}{h} = 1[/tex]
mentre
[tex]$f_-'(0)=\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{-h}{h} = -1[/tex]

Il fatto che [tex]f_+'(0)\ne f_-'(0)[/tex] assicura che la funzione [tex]|x|[/tex] non è derivabile in [tex]0[/tex].

Attenzione, la derivata del valore assoluto è sicuramente sbagliata

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[ansioso]

Nella prima parte hai assodato che f non è continua in x=0
Nella seconda hai verificato che f è derivabile dove f è continua... ovvero $R\{0}$
Trovato il range di continuità... si verifica se in esso f è derivabile

"Mathematico":Nomen omen Non essere ansioso, perchè rischi di commettere errori

Partiamo dall'inizio, abbiamo una funzione $f(x)= x^2-\frac{1}{x}$, il cui dominio di definzione è [tex]D_f:=\left\{x\in\mathbb{R}: x\ne 0\right\}[/tex], e su questo non ci piove.
Verifichiamo come si comporta la funzione [tex]f[/tex] quando x tende a zero da destra e da sinistra.
[tex]$\lim_{x\to 0^+} f(x)= -\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x\to 0^-} f(x)= +\infty[/tex]

I due limiti non sono finiti e addirittura non coincidono, pertanto possiamo concludere che la funzione [tex]f[/tex] non è continua in 0, e per quello che ho detto prima non può essere nemmeno derivabile, è inutile andare a considerare il rapporto incrementale, anche perchè non saresti in grado di valutare la funzione in 0, cioè non puoi determinare [tex]f(0)[/tex], chiaro fin qui?

Questo perchè la teoria dice che una funzione è continua se se è continua da destra e da sinistra... quindi il limite destro e sinistro sono finiti e conincidenti!
giusto?
volendo si poteva anche solamente scrivere $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ giusto? senza specificare se da destra o da sinistra....

Poi per la seconda parte... io mi sono perso sui conti ovvero tra i $[conti]$ a me vien fuori n'altra roba... ma sto abbastanza fuso in questo momento quindi assodo che quello che hai scritto è corretto!
Ma riepilogando senza fare conti (assodato anche che funzioni continue + funzioni continue danno funzioni continue) per verificare la derivabilità di f in $x_0$ hai fatto in due modi:

1. Sei andato a fare il limite del rapporto incrementale sostituendo opportunamente $f(x_0+h)$ a $f(x)$ e hai ottenuto un valore finito $f'(c)$ per ogni valore del dominio (quindi non dovrebbe essere derivabilein $x_0$??)

2. Ottenuta, o meglio, calcolata la derivata hai verificato che il limite destro e sinistro di $f'$ risulti finito e coincidente

o si fa 1 o si fa 2 si dovrebbe giungere alla medesima conclusione... corretto?

[salvozungri]

"ansioso":Nella prima parte hai assodato che f non è continua in x=0
Nella seconda hai verificato che f è derivabile dove f è continua... ovvero $R\{0}$
Trovato il range di continuità... si verifica se in esso f è derivabile
Questo perchè la teoria dice che una funzione è continua se se è continua da destra e da sinistra... quindi il limite destro e sinistro sono finiti e conincidenti!
giusto?

Sì.

"ansioso":
volendo si poteva anche solamente scrivere $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ giusto? senza specificare se da destra o da sinistra....

Il mio professore di analisi lo avrebbe considerato errore.

"ansioso":
Ma riepilogando senza fare conti (assodato anche che funzioni continue + funzioni continue danno funzioni continue) per verificare la derivabilità di f in $x_0$ hai fatto in due modi:

1. Sei andato a fare il limite del rapporto incrementale sostituendo opportunamente $f(x_0+h)$ a $f(x)$ e hai ottenuto un valore finito $f'(c)$ per ogni valore del dominio (quindi non dovrebbe essere derivabilein $x_0$??)

In realtà ho fatto il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale, mi sono accorto che questi coincidevano per ogni $x_0$ nel dominio. Io non ho ottenuto un valore finito $f'(c)$, ma un valore finito $f'(x_0)$, le due cose sono diverse, da qui traggo la conclusione che la funzione è derivabile nel dominio.
La scrittura $f'(c)$ non ha alcun senso finquando non mi dici che cosa è $c$ per te.

"ansioso":
2. Ottenuta, o meglio, calcolata la derivata hai verificato che il limite destro e sinistro di $f'$ risulti finito e coincidente

o si fa 1 o si fa 2 si dovrebbe giungere alla medesima conclusione... corretto?

Accipuffolina , ma cosa non ti è chiaro? In fin dei conti, la derivata prima di una funzione è un limite (del rapporto incrementale)! una funzione è derivabile in un punto $x_0$ se e solo se esistono finiti il limite destro e il limite sinistro del rapporto incrementale ed inoltre questi limiti devono coincidere.

[ansioso]

si scusa quel c è il punto $x_0$... è la notazione del libro!...

avresti un esercizio da sottopormi così magari lo svolgo sotto la tua supervisione credo di esserci!

[salvozungri]

Prova con la funzione $f(x) = |x|$
Indaga:
-dominio
-Insieme in cui la funzione è continua
-Insieme in cui la funzione è derivabile

Ragionaci, non è difficile.

[ansioso]

$D: (-\infty;+\infty)$

dunque da qui dovrei capire che ammette ogni valore e posso dire che è continua in R

Per la derivabilità dovrei fare così:
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\{(1 \ x>=0),(-1 \ x<0):}$
ma qui c'è quel $>=$ che non mi convince...xkè non dovrebbe essere derivabili in $x=0$


oppure mi calcolo la derivata e mi trovo il dominio?
$f'(x)=-1/x^2$ dunque derivabile per $x!=0$

(in questa maniera vedo che è un punto di cuspide... e dovrebbe essere la soluzione corretta!)

[salvozungri]

"ansioso":$D: (-\infty;+\infty)$

dunque da qui dovrei capire che ammette ogni valore e posso dire che è continua in R

Per la derivabilità dovrei fare così:
$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{|x+h|-|x|}{h}=\{(1 \ x>=0),(-1 \ x<0):}$
ma qui c'è quel $>=$ che non mi convince...xkè non dovrebbe essere derivabili in $x=0$


oppure mi calcolo la derivata e mi trovo il dominio?
$f'(x)=-1/x^2$ dunque derivabile per $x!=0$

(in questa maniera vedo che è un punto di cuspide... e dovrebbe essere la soluzione corretta!)

[tex]f(x):= \left\{\begin{matrix} x, & \mbox{se }x\ge0 \\-x, & \mbox{se }x<0 \end{matrix}\right[/tex]

Lavoriamo per passi per casi. Sia $x>0$ (nota il maggiore) allora [tex]f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h} = 1[/tex]
Per $x<0, $f'(x) = -1$.

Che succede in zero? E' necessario indagare.

[tex]$f_+'(0)=\lim_{h\to 0^+} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h}{h} = 1[/tex]
mentre
[tex]$f_-'(0)=\lim_{h\to 0^-} \frac{f(0+h)- f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{-h}{h} = -1[/tex]

Il fatto che [tex]f_+'(0)\ne f_-'(0)[/tex] assicura che la funzione [tex]|x|[/tex] non è derivabile in [tex]0[/tex].

Attenzione, la derivata del valore assoluto è sicuramente sbagliata