Quando e perché usare gli sviluppi di Taylor

[rossiii1]

Prendiamo in esame il seguente limite



il quale richiama limiti notevoli a non finire.
Ora vi chiedo, perché viene risolto con Taylor anziché con l'applicazione dei limiti notevoli (che "a prima vista" sembra sicuramente la cosa più sensata da fare)?
Esiste quindi un "trucchetto" per capire fin da subito quale strada intraprendere? o bisogna in ogni caso addentrarsi con i limiti notevoli, arrivare al nulla cosmico, e tornare indietro per usare quindi Taylor?

[MarcoPierro]

I limiti fondamentali non sono altro che gli sviluppi di Taylor arrestati al primo ordine. Il consiglio che ti do personalmente è che appena vedi un limite abbastanza rognoso e lungo, applica da subito gli sviluppi poichè con i limiti fondamentali non arriveresti da nessuna parte

[rossiii1]

"MarcoPierro":I limiti fondamentali non sono altro che gli sviluppi di Taylor arrestati al primo ordine...

Allora confrontando ad esempio il limite notevole del sinx/x con il relativo sviluppo di Tayolr non mi risultino siano uguali. Il primo è uguale a 1, il secondo arrestato al primo ordine è x..

Comunque ho trovato qualcosa e ne cito un estratto:

Capire quando dobbiamo obbligatoriamente calcolare un limite con Taylor significa capire quando
l'applicazione dei limiti notevoli fallisce. Ciò succede nei casi di forme di indecisione in cui
compaiono differenze o somme in cui i primi ordini di sviluppo non nulli si annullano a vicenda.
Poco importa quale sia la forma indeterminata in questione: la condizione è che, da qualche parte
nell'espressione della funzione, ci sia almeno una somma a lgebrica in cui gli addendi coincidono al
primo ordine non nullo di sviluppo, e sono tali da cancellare reciprocamente il primo ordine non nullo
di sviluppo nella somma algebrica.
Inoltre, lo sviluppo è richiesto solamente per le funzioni coinvolte nella somma/ differenza che
comporta l'annullamento dei primi ordini non nulli di sviluppo. Per tutti gli altri termini che compaiono
nell'espressione analitica della funzione possiamo limitarci alle equivalenze asintotiche imposte dai
limiti notevoli.

Qui la fonte: http://www.****.it/lezioni/analisi-m ... aylor.html

Ho provato ad applicare quanto dice al limite di cui sopra, ma con scarsi risultati..qualcuno che ha capito meglio di me?

[otta96]

"rossiii":Allora confrontando ad esempio il limite notevole del sinx/x con il relativo sviluppo di Tayolr non mi risultino siano uguali. Il primo è uguale a 1, il secondo arrestato al primo ordine è x..

Invece è $1$ anche con Taylor.
Per sapere quando usare Taylor si può provare a fare con i limiti notevoli, se vengono fuori delle forme indeterminate si fa con Taylor.

[rossiii1]

"otta96":
Invece è $1$ anche con Taylor.

Con Tayor, non come Taylor, che è diverso.. comunque non è questo l'argomento del thread.

"otta96":
Per sapere quando usare Taylor si può provare a fare con i limiti notevoli, se vengono fuori delle forme indeterminate si fa con Taylor.

E' ma questa è l'acqua calda , io appunto chiedevo un'alternativa a questa logica di risoluzione..

[otta96]

"rossiii":[quote="otta96"]
Invece è $1$ anche con Taylor.

Con Tayor, non come Taylor, che è diverso.. comunque non è questo l'argomento del thread.[/quote]
?????

[Weierstress]

Risolvendo con Taylor non si sbaglia. Se l'esercizio è fattibile anche solo con i limiti notevoli, pazienza, ti ritrovi semplicemente dei termini in più che si possono tranquillamente trascurare. Comunque, a occhio in genere si riesce a vedere se conviene sviluppare subito oppure se si riesce a cavarsela con i limiti notevoli.

[rossiii1]

"Weierstress":Risolvendo con Taylor non si sbaglia. Se l'esercizio è fattibile anche solo con i limiti notevoli, pazienza, ti ritrovi semplicemente dei termini in più che si possono tranquillamente trascurare. Comunque, a occhio in genere si riesce a vedere se conviene sviluppare subito oppure se si riesce a cavarsela con i limiti notevoli.

Riusciresti invece a spiegarmi quello che ho citato io prima?

[Weierstress]

Come già è stato detto, i limiti notevoli coincidono con gli sviluppi di Taylor arrestati al primo ordine. In molti esercizi accade che fermandosi ad esso, i termini si elidono a vicenda in una somma algebrica. In questi casi è necessario aumentare la precisione dello sviluppo per evitare di incappare in questo modo in una forma indeterminata.

E' difficile sapere a priori cosa è meglio fare, se insisti ad usare i limiti notevoli puoi farlo e vedere che succede; quando falliscono, passi agli sviluppi. Personalmente, sono uno sviluppatore seriale ( ) e non mi passa più neanche per la testa di ragionare pensando in termini di limiti notevoli...

[gugo82]

"rossiii":[quote="Weierstress"]Risolvendo con Taylor non si sbaglia. [...]

Riusciresti invece a spiegarmi quello che ho citato io prima?[/quote]
Beh, mi pare che il testo (anche se citato da un altro sito) sia abbastanza chiaro... Mi piacerebbe sapere cosa non ti suona di quel che hai letto.

Ad ogni buon conto, un semplice esercizio può essere più utile di altri più complicati.
Prova a calcolare coi limiti notevoli i:
\[
\begin{split}
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}\\
&\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^4}\; ,
\end{split}
\]
poi confronta il risultato con quello calcolato con, ad esempio, il teorema di de l'Hôpital (che dovresti conoscere e saper applicare dalle superiori).

Che conclusioni trai?