Quando due equazioni sono linearmente indipendenti?'?

[miik91]

Qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera esaustiva questo concetto?? nn riesco proprio a capire il significato di linearità indipendente. Potreste anke farmi qualke esempio per favore?? Grazie a tutti in anticipo.

[ciampax]

Veramente, si dice indipendenza lineare, e non linearità indipendente. Il concetto è banale: due equazioni

[math]a_1 x_1+\ldots+a_n x_n=a_0,\qquad b_1 x_1+\ldots+b_n x_n=b_0[/math]

sono linearmente dipendenti se

[math]a_j/b_j=k,\qquad \forall\ j=0,\ldots,n[/math]

e quindi sono indipendenti se almeno uno di quei rapporti non vale sempre la stessa cosa. Ad esempio le equazioni

[math]2x-y=2,\qquad -6x+3y=-6[/math]

sono linearmente dipendenti perché

[math]2/(-6)=-1/3=2/(-6)[/math]

mentre le equazioni

[math]2x-y=2,\qquad -6x-2y=4[/math]

non lo sono.

Aggiunto 1 ore 44 minuti più tardi:

E' la stessa cosa aleio! Considera il vettore dei coefficienti dell'equazione e la cosa è identica!

Aggiunto 3 ore 57 minuti più tardi:

Ovviamente puoi estendere il concetto di dipendenza lineare anche a più equazioni, ragionando sulla dipendenza lineare dei vettori dei coefficienti. In realtà, se ci rifletti, è quello che fai quando cerchi di risolvere un sistema usando il metodo di riduzione di Gauss.

[aleio1]

ok..avevo scritto la cosa in termini vettoriali..non sapevo di dipendenza lineare tra equazioni..

Aggiunto 2 ore 5 minuti più tardi:

Ma si parla di dipendenza lineare tra sole 2 equazioni secondo la definizione che hai dato tu relativa al rapporto "ordinato" dei coefficienti o il concetto si estende a più di 2 equazioni considerando appunto la dipendenza lineare dei vettori dei coefficienti?