Quando applicare le regole di derivazione
Salve,
ho un fortissimo riguardo le derivate parziali. In particolare la prof ci ha detto che ci sono dei casi in cui non si possono applicare le regole di derivazione bensì la definizione; ecco un esempio:
[tex]f(x,y) = \begin{cases}\frac{x^3-x^2y}{x^2+2y^2} & (x,y)\ne (0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)\\\end{cases}[/tex]
per $f$ ristretta ad $\mathbb{R}^2-{(0,0)}$ secondo lei è possibile applicare le regole perchè dice che per ogni punto di tale insieme esiste un intorno che contiene solo punti che fanno parte di tale insieme. Mentre per $(0,0)$ occorre applicare la definizione proprio perchè nell'intorno dell'origine ci sono punti diversi da quest'ultima e che fanno parte del primo insieme. Ma io non capisco come mai questo ragionamento si riperquote nelle derivate parziali
ho un fortissimo riguardo le derivate parziali. In particolare la prof ci ha detto che ci sono dei casi in cui non si possono applicare le regole di derivazione bensì la definizione; ecco un esempio:
[tex]f(x,y) = \begin{cases}\frac{x^3-x^2y}{x^2+2y^2} & (x,y)\ne (0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)\\\end{cases}[/tex]
per $f$ ristretta ad $\mathbb{R}^2-{(0,0)}$ secondo lei è possibile applicare le regole perchè dice che per ogni punto di tale insieme esiste un intorno che contiene solo punti che fanno parte di tale insieme. Mentre per $(0,0)$ occorre applicare la definizione proprio perchè nell'intorno dell'origine ci sono punti diversi da quest'ultima e che fanno parte del primo insieme. Ma io non capisco come mai questo ragionamento si riperquote nelle derivate parziali
Risposte
Si forse ho fatto una scelta infelice di quel verbo...riformulo:
cosa c'entra quel ragionamento sugli intorni ecc. con le derivate parziali?
cosa c'entra quel ragionamento sugli intorni ecc. con le derivate parziali?
[tex]f(x,y) = \begin{cases}g(x,y)=\frac{x^3-x^2y}{x^2+2y^2} & (x,y)\ne (0,0)\\
h(x,y)=0 & (x,y)=(0,0)\\\end{cases}[/tex]
-il gradiente di
[tex]g[/tex] non è il gradiente di [tex]f[/tex]!
Per ogni punto tranne l'origine -le derivate parziali di
[tex]f[/tex] sono quelle di [tex]g[/tex] _proprio
perchè per ogni punto per cui
[tex]f=g[/tex], esiste un intorno tale che, per tutti i suoi
punti, [tex]f=g[/tex]
Del resto, il gradiente è il vettore
di limiti di rapporti incrementali. (le "regole di derivazione"
discendono dalla definizione di derivata _questa "definizione" è SEMPRE 'applicata').
Fai questi limiti per l'origine_ quale problema?
h(x,y)=0 & (x,y)=(0,0)\\\end{cases}[/tex]
-il gradiente di
[tex]g[/tex] non è il gradiente di [tex]f[/tex]!
Per ogni punto tranne l'origine -le derivate parziali di
[tex]f[/tex] sono quelle di [tex]g[/tex] _proprio
perchè per ogni punto per cui
[tex]f=g[/tex], esiste un intorno tale che, per tutti i suoi
punti, [tex]f=g[/tex]
Del resto, il gradiente è il vettore
di limiti di rapporti incrementali. (le "regole di derivazione"
discendono dalla definizione di derivata _questa "definizione" è SEMPRE 'applicata').
Fai questi limiti per l'origine_ quale problema?
Il problema è che non ho capito quando le derivate parziali si possono calcolare con le regole di derivazione e quando si devono necessariamente calcolare attraverso la definizione (facendo materialmente il limite del rapporto incrementale).
Ma questo è un dubbio di Analisi 1 però... Quando hai una funzione di una variabile, di cui conosci una espressione analitica, quand'è che puoi calcolare le derivate con le regole di derivazione e quando invece devi usare metodi ad hoc? La stessa cosa con funzioni di più variabili. Cerca sul forum che ne abbiamo parlato parecchie volte.
Beh per esempio da quello che mi ricordo di analisi 1 le regole di derivazione restituivano non il valore della derivata in un dato punto bensì l'espressione analitica al variare di $x$. Ciò era utile per la determinazione ad esempio degli estremanti. Mentre il limite del rapporto incrementale ha utilità per capire in un dato punto se la derivata esiste o meno ecc.
Ma no, che dici. Cioè tu prima calcoli la derivata e poi ti chiedi se esiste? Hai le idee confuse su questo argomento pregresso, ecco perché ora non ti ritrovi.
Il fatto è che quando hai una funzione in un esercizio essa è tipicamente una combinazione di funzioni elementari ("combinazione" significa che è ottenuta prendendo somme e prodotti di funzioni elementari). Queste funzioni sono derivabili ovunque esse siano definite, e somme e prodotti di funzioni derivabili in un punto sono ancora funzioni derivabili in un punto. Così in genere ti ritrovi con il sapere subito che la tua funzione è derivabile in "tanti" punti, ma ti restano un certo numero di punti particolari nei quali condurre una analisi locale. E' qui che, ad esempio, devi applicare la definizione e testare direttamente la convergenza del rapporto incrementale, oppure verificare se è applicabile il teorema di Darboux.
Il fatto è che quando hai una funzione in un esercizio essa è tipicamente una combinazione di funzioni elementari ("combinazione" significa che è ottenuta prendendo somme e prodotti di funzioni elementari). Queste funzioni sono derivabili ovunque esse siano definite, e somme e prodotti di funzioni derivabili in un punto sono ancora funzioni derivabili in un punto. Così in genere ti ritrovi con il sapere subito che la tua funzione è derivabile in "tanti" punti, ma ti restano un certo numero di punti particolari nei quali condurre una analisi locale. E' qui che, ad esempio, devi applicare la definizione e testare direttamente la convergenza del rapporto incrementale, oppure verificare se è applicabile il teorema di Darboux.
Sì, infatti quello che volevo dire è che il limite del rapporto incrementale nelle funzioni ad una sola variabile serviva per vedere (o attraverso il teorema di Darboux) se una data funzione in un punto era o meno derivabile. Quando io ho detto:"le regole di derivazione restituivano non il valore della derivata in un dato punto bensì l'espressione analitica al variare di $x$. Ciò era utile per la determinazione ad esempio degli estremanti" intendevo dire esaminare il comportamento della derivata in quei "tanti punti" in cui certamente essa esiste.
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