Qualle e' la f

[dennysmathprof]

Un dolcino dalla Grecia,ultimo per 2014

Abbiamo per la funzione f : [tex]\displaystyle\forall x\ge 0, e^{f ' (x)}+f(x)=e^{2x}+x^2, f(0)=0[/tex]. vogliamo dimostrare che

[tex]f(x)=x^2[/tex]

Tanti auguri e buon anno .

Dennys

[Brancaleone1]

Provo

\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{f'\left( x \right)}} + f\left( x \right) = {e^{2x}} + {x^2}\\
f\left( 0 \right) = 0
\end{array} \right.\quad \forall x \ge 0\]

Dall'equazione si ha
\[{e^{f'\left( x \right)}} = {e^{2x}} + {x^2} - f\left( x \right)\]
\[ \Rightarrow {e^{f'\left( 0 \right)}} = 1\]

da cui
\[f'\left( 0 \right) = 0\]

Esplicito la funzione incognita e la derivo ottenendo
\[f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} + 2x - f''\left( x \right){e^{f'\left( x \right)}}\]
\[ \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 2 - f''\left( 0 \right){e^{f'\left( 0 \right)}} = 0\]
\[ \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 2\]

Integrando due volte questa derivata ottengo
\[f\left( x \right) = \int_0^x {\left( {\int_0^t {2{\rm{d}}s} } \right){\rm{d}}t} = \int_0^x {2t{\rm{d}}t} = {x^2}\]

[stormy1]

e dove hai dimostrato che la derivata seconda è costantemente uguale a $2$ ?

[dennysmathprof]

Buon anno

Sono d'accordo con Stormy .il carisssimo Brancaleone deve rivedere la sua soluzione .Grazie

[stormy1]

suggerimento:
essendo evidente che $y=x^2$ è soluzione del problema di Cauchy proposto,bisogna verificare che, posta l'equazione differenziale nella forma $y'=f(x,y)=ln(e^(2x)+x^2-y)$,la funzione $f(x,y)$ verifichi le ipotesi che garantiscono l'unicità della soluzione

[dennysmathprof]

Ce' anche una soluzione piu semplice, la posso dare dopo.Grazie

[dennysmathprof]

[tex]\displaystyle{G\left( x \right) = f\left( x \right) - {x^2},x \ge 0}
\forall \displaystyle{x \ge 0}\Rightarrow \displaystyle{{e^{f'\left( x \right)}} + f(x) = {e^{2x}} + {x^2} \Rightarrow }\displaystyle{{e^{G'\left( x \right) + 2x}} + G\left( x \right) = {e^{2x}} \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow {e^{G'\left( x \right)}} + G\left( x \right){e^{ - 2x}} = 1:\left( 1 \right)}[/tex]
Si come pero' [tex]\displaystyle{{e^x} \ge x + 1,\forall x \in R}, \forall \displaystyle{x \ge 0}[/tex]abbiamo :
[tex]\displaystyle{1 = {e^{G'\left( x \right)}} + G\left( x \right){e^{ - 2x}} \ge \left( {G'\left( x \right) + 1} \right) + G\left( x \right){e^{ - 2x}} \Rightarrow }\displaystyle{G'\left( x \right) + G\left( x \right){e^{ - 2x}} \le 0 \Rightarrow }
\displaystyle{ \Rightarrow \left( {G'\left( x \right) + G\left( x \right){e^{ - 2x}}} \right){e^{ - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}}} \le 0 \Rightarrow {\left( {G\left( x \right){e^{ - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}}}} \right)^\prime } \le 0}[/tex]
Cioe' la funzione [tex]\displaystyle{H\left( x \right) = G\left( x \right){e^{ - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}}},x \ge 0}[/tex] ,e' decrescente cioe' [tex]\displaystyle{H\left( x \right) \le H\left( 0 \right),\forall x \ge 0 \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow G\left( x \right){e^{ - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}}} \le G\left( 0 \right){e^{ - \frac{1}{2}{e^{ - 2.0}}}} = \left( {f\left( 0 \right) - {0^2}} \right).1 = f\left( 0 \right) = 0,\forall x \ge 0} \displaystyle{ \Rightarrow G\left( x \right) \le 0,\forall x \ge 0:\left( 2 \right)}[/tex]
Ancora abbiamo [tex]\forall \displaystyle{x \ge 0} ,
\displaystyle{\left( 1 \right) \Rightarrow 1 = {e^{G'\left( x \right)}} + G\left( x \right){e^{ - 2x}}\mathop \le \limits^{\left( 2 \right)} {e^{G'\left( x \right)}} \Rightarrow }\displaystyle{{e^{G'\left( x \right)}} \ge {e^0}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{e^x}: \uparrow } \right)} G'\left( x \right) \ge 0} \Rightarrow \displaystyle{G}[/tex]
e' crescente [tex]\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)},[/tex]cosi abbiamo [tex]\displaystyle{G\left( x \right) \ge G\left( 0 \right),\forall x \ge 0\mathop \Rightarrow \limits^{G\left( 0 \right) = 0} G\left( x \right) \ge 0,\forall x \ge 0:\left( 3 \right)}[/tex]
Dall [tex]\displaystyle{\left( 2 \right)} e \displaystyle{\left( 3 \right)}[/tex]abbiamo [tex]\displaystyle{G\left( x \right) = 0,\forall x \ge 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) - {x^2} = 0,\forall x \ge 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2},\forall x \ge 0}[/tex]