Quale non è esatta???

[eMiliu]

Quali tra le seguenti forme differenziali non è esatta in A= x>3, y>3???

1) $-y/(x^2+y^2)$dx+$x/(x^2+y^2)$dy

2) $y/(1+x)$dx+log(1+x)dy

3) 4ydx-5xdy

4) (2xy-$1/x$)dx+$x^2$dy

qual'è?? aiutatemi per favore a capire come si fa a capire se una forma differenziale è esatta oppure no!!!

Sono disperato!!!

[david_e1]

La 3) non e' esatta infatti le derivate incrociate nn sono uguali!

[eMiliu]

e se le 4 forme differenziali avessero tutte le derivate incrociate uguali, come procederesti a verificare quale delle 4 non è esatta???

[spassky]

La prima l'ho presa a mò d'esempio nell'altro post e l'ho ampiamente illustrata.
Ora vediamo la seconda. E' chiaramente chiusa. Il dominio della forma differenziale, che chiamiamo D è composto da tutte le coppie $(x,y) $tali che $x>-1$.
Dunque $AsubD$. E visto che in A, comunque tracciamo una curva essa racchiude un dominio regolare incluso totalmente nel dominio, allora A è semplicemente connesso. Pertanto la f.d. 2 è esatta

Passiamo alla quarta.
Questa pure è chiusa. Ora vediamo se il domionio è semplicemente connesso. Facciamo attenzione:
a rigore non lo è, perchè è tutto $R^2$ tranne l'origine. Pertanto non è esatta in $R^2-{(0,0)}$. La domanda dell'esercizio, però, chiede se è esatta in A. E visto che in A, il dominio non è "bucato", puoi dire che in A è esatta, sebbene non lo sia in tutto D.

In definitiva la 3 forma differenziale è l'unica non esatta perchè non rispetta il teorema di Schwarz.
Spero di esser stato chiaro.