Quale metodo?

Pensif
∫sin(log(x+1))dx non riesco a trovare un metodo per risolverlo.

Risposte
ciampax
Dunque abbiamo

[math]\int\sin(\log(x+1))\ dx[/math]



Poniamo
[math]\log(1+x)=t[/math]
: allora
[math]x=e^t-1[/math]
e
[math]dx=e^t\ dt[/math]
, da cui


[math]I=\int\sin(t)\cdot e^t\ dt[/math]



A questo punto possiamo procedere integrando per parti: si ha


[math]I=e^t\sin t-\int e^t\cos t\ dt=e^t\sin t-\left[e^t\cos t+\int e^t\sin t\ dt\right]=\\ e^t\sin t-e^t\cos t-I[/math]



Ma allora si ha

[math]2I=e^t\sin t-e^t\cos t+c[/math]



da cui

[math]I=\frac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+c[/math]



e quindi, dalla posizione fatta

[math]I=\frac{x+1}{2}\left[\sin(\log(1+x))-\cos(\log(1+x))\right]+c[/math]

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