Qualcuno sa risolvere questo integrale generalizzato?

[sherlock_junior]

$\I(k)=\frac{1}{\pi}\int_1^k\frac{1}{\sqrt{(k-x)(x-1)}}\log\frac{x-1}{x}dx, \qquad k>1$

Con Maple sono riuscito a calcolarne solamente l'integrale approssimato (per diversi valori di k) arrivando ad ipotizzare $I(k)=\log\frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1}$.
Saluti e Grazie.

[Luca.Lussardi]

Non è da calcolare, ma da studiare la convergenza.
L'integrale è improprio in $x=k$ e $x=1$. Basta andare attorno ai due punti e confrontare l'integranda con funzioni tipo potenze di $t$.

[sherlock_junior]

temo di non aver capito...

[Luca.Lussardi]

Ad esempio: $1/sqrt(x-1)log((x-1)/x)<(x-1)/(xsqrt(x-1))=sqrt(x-1)/x$. Per $x -> 1$ la funzione scritta tende a $0$ per cui l'integrale dato non ha problemi di convergenza vicino a $1$. Prova tu a ripetere lo stesso argomento vicino a $k$.

[sherlock_junior]

Grazie,
io però direi $1/sqrt(x-1)log((x-1)/x) -> -inf$ per $x->1$, comunque non mi sembra ci siano problemi di convergenza.
Quello che voglio è proprio il valore dell'integrale: penso che possa essere
$I(k)=\log\frac{\sqrt{k}-1}{\sqrt{k}+1}$, ma non so come dimostrarlo.

[sherlock_junior]

intendevo dire
$1/sqrt(x-1)log((x-1)/x) -> -oo$

[Luca.Lussardi]

Ad occhio non credo che sia semplice trovarlo, anche se non ci ho pensato per più di 2 minuti.