Qualche Serie
Ragazzi Devo Studiare Il Carattere Della Seguente Serie:
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n[/tex] con [tex]x \in R[/tex]
Allora Ho pensato di dover distinguere vari casi a Seconda Che x sia >1, compraso tra 0 e 1, e minore di 0
Nel caso in cui x>1 Allora Il termine Generale Non converge a 0 Quindi La Serie Non E' Convergente, In Particolare Essendo Una Serie A Termini Non Negativi Diverge Positivamente...Giusto?
Per 0
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n[/tex] Allora La Serie E' Ancora A Termini Non Negativi.
Ho Provato Ad Applicare il Criterio Della Radice E Quindi ottengo limite = 0 Quindi la serie Converge...Giusto?
Per x<0
Penso Che La Serie Sia A Termini Alterni Perche' [tex]x^n[/tex] assume valori positivi e negativi a seconda dell'indice
Quindi posso scriverla come:
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n(-1)^n[/tex] con [tex]x >0[/tex]
E' Corretto Oppure ho scritto una cavolata?
Qualche suggerimento per procedere?
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n[/tex] con [tex]x \in R[/tex]
Allora Ho pensato di dover distinguere vari casi a Seconda Che x sia >1, compraso tra 0 e 1, e minore di 0
Nel caso in cui x>1 Allora Il termine Generale Non converge a 0 Quindi La Serie Non E' Convergente, In Particolare Essendo Una Serie A Termini Non Negativi Diverge Positivamente...Giusto?
Per 0
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n[/tex] Allora La Serie E' Ancora A Termini Non Negativi.
Ho Provato Ad Applicare il Criterio Della Radice E Quindi ottengo limite = 0 Quindi la serie Converge...Giusto?
Per x<0
Penso Che La Serie Sia A Termini Alterni Perche' [tex]x^n[/tex] assume valori positivi e negativi a seconda dell'indice
Quindi posso scriverla come:
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*x^n(-1)^n[/tex] con [tex]x >0[/tex]
E' Corretto Oppure ho scritto una cavolata?
Qualche suggerimento per procedere?
Risposte
Già, ad occhio, vedi che il termine esponenziale è dominante rispetto al razionale. Prima di tutto, allora, studierei la assoluta convergenza. Dunque, sicuramente:
$x > 1$ -> Diverge.
$|x|=1$ -> Serie armonica. Diverge.
$|x| < 1$ -> Converge.
$x<1$ -> Devi studiarla a parte.. Comunque, nella scomposizione hai sbagliato. $x^n= (-1)^n |x|^n$
$x > 1$ -> Diverge.
$|x|=1$ -> Serie armonica. Diverge.
$|x| < 1$ -> Converge.
$x<1$ -> Devi studiarla a parte.. Comunque, nella scomposizione hai sbagliato. $x^n= (-1)^n |x|^n$
Quella che va studiata a Parte' e' x<1 oppure x<-1?
Perche' per x<-1 io ho pensato di applicare l'assoluta convergenza e poi il criterio della radice
Sbaglio?
Inoltre Per x= -1
La serie Diventa:
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(-1)^n[/tex] Giusto?
Quindi E' Una Serie Alternata Ho Applicato il criterio di Leibnitz e Poiche' [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}[/tex] E' Infinitesima e Decrescente per n maggiore o uguale a 2, la serie Dovrebbe essere convergente.
Quindi Non mi ritrovo Col tuo |x|=1 Diverge
Invece Per x=1
Allora Trovo Che La Mia serie Risulta Maggiore Della Serie [tex]\frac{n}{n^2 -1}[/tex] Che Diverge
E Quindi Diverge Anche La Mia serie Per Il Criterio Del Confronto
Giusto?
Perche' per x<-1 io ho pensato di applicare l'assoluta convergenza e poi il criterio della radice
Sbaglio?
Inoltre Per x= -1
La serie Diventa:
[tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(-1)^n[/tex] Giusto?
Quindi E' Una Serie Alternata Ho Applicato il criterio di Leibnitz e Poiche' [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}[/tex] E' Infinitesima e Decrescente per n maggiore o uguale a 2, la serie Dovrebbe essere convergente.
Quindi Non mi ritrovo Col tuo |x|=1 Diverge
Invece Per x=1
Allora Trovo Che La Mia serie Risulta Maggiore Della Serie [tex]\frac{n}{n^2 -1}[/tex] Che Diverge
E Quindi Diverge Anche La Mia serie Per Il Criterio Del Confronto
Giusto?
Oh si scusa, sbagliato a ricopiare. Diverge per $x = 1$. Vedi che diverge perchè è asintoticamente equivalente alla serie armonica.
Per $ x < -1$.. Col criterio della radice, la serie dei valori assoluti ti viene convergente? ( Non credo, visto che $|a_n|$ non è infinitesimo )
Per $ x < -1$.. Col criterio della radice, la serie dei valori assoluti ti viene convergente? ( Non credo, visto che $|a_n|$ non è infinitesimo )
Mmm allora sbaglio qualcosa
Nel caso in cui x<-1 La Serie Dei Valori Assoluti E':
[tex]\sum_{n=2}^\infty |\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(x)^n|[/tex]
il cui termine generale e':
[tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(x)^n|[/tex]
Che posso scrivere come: [tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}|*|(x)^n|[/tex]
Ora e' giusto dire che [tex]|(x)^n| = |x|^n[/tex]??
Nel caso in cui x<-1 La Serie Dei Valori Assoluti E':
[tex]\sum_{n=2}^\infty |\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(x)^n|[/tex]
il cui termine generale e':
[tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}(x)^n|[/tex]
Che posso scrivere come: [tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}|*|(x)^n|[/tex]
Ora e' giusto dire che [tex]|(x)^n| = |x|^n[/tex]??
Si. Continua..
Quindi La Mia Serie La Posso Scrivere Come:
[tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}|*|(x)|^n[/tex]
Si Effettivamente Mi Viene Divergente Applicando Il Criterio Della Radice
Mmm Quindi non mi aiuta...
...Come posso procedere?
[tex]|\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}|*|(x)|^n[/tex]
Si Effettivamente Mi Viene Divergente Applicando Il Criterio Della Radice
Mmm Quindi non mi aiuta...
...Come posso procedere?
Leibniz.
Mmm Quindi per x<-1
La Serie Diventa: [tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n(-1)^n[/tex]
Se Applico Leibnitz e' necessario che: [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n[/tex] Sia Infinitesima E Decrescente Per Dire che La Serie Converge
ma [tex]|x^n|[/tex] Predomina sul resto quindi [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n[/tex] non e' infinitesimo...o sbaglio?
La Serie Diventa: [tex]\sum_{n=2}^\infty \frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n(-1)^n[/tex]
Se Applico Leibnitz e' necessario che: [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n[/tex] Sia Infinitesima E Decrescente Per Dire che La Serie Converge
ma [tex]|x^n|[/tex] Predomina sul resto quindi [tex]\frac{n+\sqrt{n}}{n^2 -1}*|x|^n[/tex] non e' infinitesimo...o sbaglio?
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