Qualche problema con le serie
Salve ragazzi, ho qualche problema sullo studio della convergenza di un paio di serie e mi affido a voi per risolvere i miei dubbi.
La prima serie è questa e l'esercizio mi chiede di determinare il carattere della serie
$sum_{n=1}^\infty\(e^(1/(n^2))-1)/(3+ln(1+1/x))$
È pacifico che la serie è a termini positivi e che la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta. Ora però non riesco a determinare la convergenza. Io avevo pensato di utilizzare in questa maniera il criterio del confronto asintotico:
$an = (e^(1/(n^2))-1)/(3+ln(1+1/x))~1/(1/n)=n$
per $n rarr infty$. E dunque la serie divergerebbe a $+ infty$. È corretto o sono completamente fuori strada?
La seconda serie è invece questa e l'esercizio mi chiede di discutere convergenza assoluta o semplice
$sum_{n=0}^\infty\(-1)^n (n! + 3 (n+1)^2)/[(n+1)!]^2$
Su questa serie faccio più fatica. Di sicuro posso dire che è una serie a termini di segno alterni e credo anche che la condizione necessaria di convergenza sia soddisfatta, dato che la funzione fattoriale che è a denominatore dovrebbe essere un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore. Ora, la presenza della funzione fattoriale mi suggerirebbe di applicare il teorema del rapporto, ma applicandolo non riesco a venirne a capo.
Vi ringrazio in anticipo e spero sappiate consigliarmi.
La prima serie è questa e l'esercizio mi chiede di determinare il carattere della serie
$sum_{n=1}^\infty\(e^(1/(n^2))-1)/(3+ln(1+1/x))$
È pacifico che la serie è a termini positivi e che la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta. Ora però non riesco a determinare la convergenza. Io avevo pensato di utilizzare in questa maniera il criterio del confronto asintotico:
$an = (e^(1/(n^2))-1)/(3+ln(1+1/x))~1/(1/n)=n$
per $n rarr infty$. E dunque la serie divergerebbe a $+ infty$. È corretto o sono completamente fuori strada?
La seconda serie è invece questa e l'esercizio mi chiede di discutere convergenza assoluta o semplice
$sum_{n=0}^\infty\(-1)^n (n! + 3 (n+1)^2)/[(n+1)!]^2$
Su questa serie faccio più fatica. Di sicuro posso dire che è una serie a termini di segno alterni e credo anche che la condizione necessaria di convergenza sia soddisfatta, dato che la funzione fattoriale che è a denominatore dovrebbe essere un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore. Ora, la presenza della funzione fattoriale mi suggerirebbe di applicare il teorema del rapporto, ma applicandolo non riesco a venirne a capo.
Vi ringrazio in anticipo e spero sappiate consigliarmi.
Risposte
Nella prima serie, a denominatore c'è \(n\) al posto di \(x\), vero?...
E, ad ogni buon conto, non ho capito come hai applicato il confronto asintotico.
Nella seconda, quando verifichi la condizione necessaria, puoi ben dire che \((n+1)^2\) è trascurabile rispetto a \(n!\), quindi riesci a dare una buona stima della velocità con cui gli addendi tendono a zero...
E, ad ogni buon conto, non ho capito come hai applicato il confronto asintotico.
Nella seconda, quando verifichi la condizione necessaria, puoi ben dire che \((n+1)^2\) è trascurabile rispetto a \(n!\), quindi riesci a dare una buona stima della velocità con cui gli addendi tendono a zero...
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