Qualche problema con il coseno..
Ciao a tutti. Sono un utente fresco fresco d'iscrizione! Avrei un problema che mi tormenta e spero che qualcuno possa aiutarmi a risolverlo: cosx a che cosa è asintotico per x->0 ?!?
Dal noto limite notevole Limit[(1-cosx)/x^2,x->0]=1/2 si deduce che 1-cosx è asintotico a 1/2 x^2 quindi cosx è asintotico a 1-(1/2x^2) e fin qui tutto ok.. ma ugualmente si trova che cosx è asintotico a qualsiasisi polinomio di grado n e termine di grado 0 uguale a 1, infatti Limit[cosx/x^n+x^(n-1)+..+x+1,x->0]=1 , com'è possibile?? Saperlo mi sarebbe molto utile per risolvere questo limite:
Limit[(ln(cosx))^2 / ((tgx-x)x)] che dovrebbe fare 3/4..
Grazie
Dal noto limite notevole Limit[(1-cosx)/x^2,x->0]=1/2 si deduce che 1-cosx è asintotico a 1/2 x^2 quindi cosx è asintotico a 1-(1/2x^2) e fin qui tutto ok.. ma ugualmente si trova che cosx è asintotico a qualsiasisi polinomio di grado n e termine di grado 0 uguale a 1, infatti Limit[cosx/x^n+x^(n-1)+..+x+1,x->0]=1 , com'è possibile?? Saperlo mi sarebbe molto utile per risolvere questo limite:
Limit[(ln(cosx))^2 / ((tgx-x)x)] che dovrebbe fare 3/4..
Grazie
Risposte
Non credo che ci sia una qualche contraddizione:si tratta solo di approssimazioni
diverse.Un conto e' scrivere,ad esempio,$cosx=1-x^2/2+o(x^2)$ e un altro e' porre
$cosx=1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^4)$. Nel primo caso si considerano trascurabili
tutti i termini di grado >2,nell'altro quelli di grado>4.
Scegliere l'una o l'altra delle due espressioni dipende dal contesto in cui si opera.
Per il limite e' sufficiente sviluppare num. e denom. in serie di McLaurin fino a
0(x^6) e si ottiene che:
$(ln(cosx))^2=x^4/4+x^6/(12)+o(x^6);x(tanx-x)=x^4/3+(2x^6)/(15)+o(x^6)$
da cui, semplificando per x^4 e passando al limite ,si ottiene 3/4.
Archimede
diverse.Un conto e' scrivere,ad esempio,$cosx=1-x^2/2+o(x^2)$ e un altro e' porre
$cosx=1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^4)$. Nel primo caso si considerano trascurabili
tutti i termini di grado >2,nell'altro quelli di grado>4.
Scegliere l'una o l'altra delle due espressioni dipende dal contesto in cui si opera.
Per il limite e' sufficiente sviluppare num. e denom. in serie di McLaurin fino a
0(x^6) e si ottiene che:
$(ln(cosx))^2=x^4/4+x^6/(12)+o(x^6);x(tanx-x)=x^4/3+(2x^6)/(15)+o(x^6)$
da cui, semplificando per x^4 e passando al limite ,si ottiene 3/4.
Archimede
Grazie per la risposta Archimede. Ma allora mi spieghi dove sto sbagliando nei passaggi che seguono a mio avviso tutti leciti..Premetto che gli sviluppi di Mc Laurin non mi sono mai piaciuti quindi volevo risolvere il limite in altro modo:
Ricordo che il limite in questione era $lim_{xto0}{log_e{cosx}}^2/{xtanx}$
Ora io posso benissimo affermare che cosx~1+x infatti $lim_{xto0}cosx/x+1=1$ , quindi ottengo che ln(cosx)~ln(1+x) che a sua volta è asintotico a x sempre per x->0 naturalmente. Ma allora il limite si riduce a $lim_{xto0}x^2/x{tanx-x}$ percui ponendo in evidenza una x a denominatore , semplificando e passando al limite si ottiene 1/0 cioè $00$ Se la matematica non è un opinione sto sicuramente sbagliando qualcosa ma non capisco cosa!!
Ricordo che il limite in questione era $lim_{xto0}{log_e{cosx}}^2/{xtanx}$
Ora io posso benissimo affermare che cosx~1+x infatti $lim_{xto0}cosx/x+1=1$ , quindi ottengo che ln(cosx)~ln(1+x) che a sua volta è asintotico a x sempre per x->0 naturalmente. Ma allora il limite si riduce a $lim_{xto0}x^2/x{tanx-x}$ percui ponendo in evidenza una x a denominatore , semplificando e passando al limite si ottiene 1/0 cioè $00$ Se la matematica non è un opinione sto sicuramente sbagliando qualcosa ma non capisco cosa!!
oops errore nella formula alla IV riga; era $lim_{xto0}{cosx}/{x+1}=1$
Qualcosa mi dice che devo impratichirmi nel digitare le formule 
il limite alla penultima riga era $lim_{xto0}{x^2}/{x{tanx-x}}$
il limite alla penultima riga era $lim_{xto0}{x^2}/{x{tanx-x}}$
Piccola parentesi. Nelle formule usa le tonde al posto delle graffe.
Mi sembra difficile che sia cos(x) asintotico a 1+x che per x>0 (sia pure prossimo
a 0) risulta piu' grande di 1!!
Rivedi i calcoli.
Archimede.
a 0) risulta piu' grande di 1!!
Rivedi i calcoli.
Archimede.
Archimede, x->0, che tu hai interpretato come x>0, voleva in realtà essere $xto0$ ; cmq penso di aver capito dove stavo sbagliando: semplicemente $cosx$ e $1+x$ non sono infinitesimi quindi che il limite del loro rapporto per $xto0$ sia uguale a 1 non comporta che le due funzioni siano asiontotiche. Grazie cmq per aver risposto. Vorrei chiedere ancora un ultima cosa,a te o a chiunque abbia voglia di rispondere, riguardo agli sviluppi di Mc Laurin..ma quand'è che ci si deve fermare?? Esistono dei 'trucchi' per capirlo prima di aver fatto una marea di calcoli che solo alla fine ti accorgi essere inutili ??
Quando ho scritto che (per x prossimo a zero) e' cosx=1+x>1 intendevo
affermare proprio quello che dici te.Comunque, riguardo a dove fermarsi
negli sviluppi di McLaurin o di Taylor, e' risaputo che purtroppo non esistono
regole generali.Come ti ho gia' detto,tutto dipende dal contesto in cui si opera:
ci vuole fiuto,allenamento e ,a volte ,anche... un po' di fortuna!
Ciao e Buon Anno nuovo.
Archimede.
affermare proprio quello che dici te.Comunque, riguardo a dove fermarsi
negli sviluppi di McLaurin o di Taylor, e' risaputo che purtroppo non esistono
regole generali.Come ti ho gia' detto,tutto dipende dal contesto in cui si opera:
ci vuole fiuto,allenamento e ,a volte ,anche... un po' di fortuna!
Ciao e Buon Anno nuovo.
Archimede.
Ho capito..allora appena finiranno i festeggiamenti mi metterò al lavoro )
Grazie ancora e Buon Anno anche a te.
Idefix.
) Grazie ancora e Buon Anno anche a te.
Idefix.
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