Qualche limite
ciao a tutti,
avrei qualche dubbio su come risolvere i seguenti limiti,
qualcuno sarebbe cosi gentile da mostrarmi i passaggi, anche solo i primi 2 passaggi o come preferite,
premetto che esercizi piu semplici riesco a risolverli pero in molti tipo questi non riesco a procedere grazie.
lim n->+ infinito
[size=150]\(
(1+ \frac{1} {n^n}\ )^n!
\)[/size]
questo sembra poter esser ricondotto al limite notevole che ritorna il numero di nepero
lim n->+ infinito
[size=150]\(
(n^n - 2^n)
\)[/size]
infinito - infinito credo che si puo far diventare infinito/infinito e poi risolvere
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{n! + 2n }
{(n + 1)!}
\)[/size]
credo infinito/infinito
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{2^nn^2 + sin(n) }
{3^n}
\)[/size]
credo infinito/infinito
avrei qualche dubbio su come risolvere i seguenti limiti,
qualcuno sarebbe cosi gentile da mostrarmi i passaggi, anche solo i primi 2 passaggi o come preferite,
premetto che esercizi piu semplici riesco a risolverli pero in molti tipo questi non riesco a procedere grazie.
lim n->+ infinito
[size=150]\(
(1+ \frac{1} {n^n}\ )^n!
\)[/size]
questo sembra poter esser ricondotto al limite notevole che ritorna il numero di nepero
lim n->+ infinito
[size=150]\(
(n^n - 2^n)
\)[/size]
infinito - infinito credo che si puo far diventare infinito/infinito e poi risolvere
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{n! + 2n }
{(n + 1)!}
\)[/size]
credo infinito/infinito
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{2^nn^2 + sin(n) }
{3^n}
\)[/size]
credo infinito/infinito
Risposte
nobody
Ricorda che non è permesso sollecitare le risposte prima di 24 ore. Cominciamo dal primo:
$( 1 + 1/n^n)^n = e^( ln( 1 + 1/n^n )/(1/n) )$
Ed inoltre $ ln( 1 + 1/n^n ) sim 1/n^n$ per $n -> +oo$ .
$( 1 + 1/n^n)^n = e^( ln( 1 + 1/n^n )/(1/n) )$
Ed inoltre $ ln( 1 + 1/n^n ) sim 1/n^n$ per $n -> +oo$ .
"Seneca":
$( 1 + 1/n^n)^n = e^( ln( 1 + 1/n^n )/(1/n) )$
sicuramente sbaglio io pero' forse qui non hai tenuto conto che l'ultimo elevamento e n! fattoriale
proseguendo e ammeso che tu ne abbia tenuto conto dopo questa osservazione
"Seneca":
Ed inoltre $ ln( 1 + 1/n^n ) sim 1/n^n$ per $n -> +oo$ .
potrei dire che
[size=200]$ e^( ln( 0)/(1/n) )$[/size]
di conseguenza
[size=200]$ e^( (-oo)/0 )$[/size]
o sbaglio tutto??
Non avevo visto il fattoriale. Allora avresti: $( 1 + 1/n^n)^(n!) = e^( ln( 1 + 1/n^n )/(1/(n!)) )$
Quello che hai scritto dopo è sbagliato; il limite dell'esponente si presenta in forma indeterminata $[0/0]$. Procedi come ti ho suggerito: $ln( 1 + 1/n^n )/(1/(n!)) sim 1/n^n * n!$ (per $ n -> + oo$) e cerca di capire quanto fa $lim_n 1/n^n * n!$.
Quello che hai scritto dopo è sbagliato; il limite dell'esponente si presenta in forma indeterminata $[0/0]$. Procedi come ti ho suggerito: $ln( 1 + 1/n^n )/(1/(n!)) sim 1/n^n * n!$ (per $ n -> + oo$) e cerca di capire quanto fa $lim_n 1/n^n * n!$.
potresti dirmi brevemente come giungi a questa approssimazione
$lim_n 1/n^n * n!$ dovrebbe essere $0 * oo$ che potrei trasformare cosi
[size=150]$lim_n (1/n^n) /( 1/n!)$[/size]
giusto?
tnks per la pazienza e la disponibilita'
"Seneca":
Procedi come ti ho suggerito: $ln( 1 + 1/n^n )/(1/(n!)) sim 1/n^n * n!$ (per $ n -> + oo$)
$lim_n 1/n^n * n!$ dovrebbe essere $0 * oo$ che potrei trasformare cosi
[size=150]$lim_n (1/n^n) /( 1/n!)$[/size]
giusto?
tnks per la pazienza e la disponibilita'
Beh... $ln(1 + x) sim x$ per $x -> 0$. Ponendo $x = 1/n^n$ ottieni quanto ti ho scritto.
Per calcolare $lim_n (n!)/n^n$ potresti usare, per esempio, la formula di Stirling.
Per calcolare $lim_n (n!)/n^n$ potresti usare, per esempio, la formula di Stirling.
perdonami Seneca pero' attualmente ci capisco ancora poco, se te mi fai queste prodezze e la fine
conosco solo poche formule e teoremi per risolverli nel modo classico diciamo
senza nemmeno usare de l'hopital che ancora non so farlo bene.
comunque vabbe dai passiamo al secondo??
conosco solo poche formule e teoremi per risolverli nel modo classico diciamo
senza nemmeno usare de l'hopital che ancora non so farlo bene.
comunque vabbe dai passiamo al secondo??
Conosci il limite notevole $lim_(x -> 0) log( 1 + x )/x = 1$ ? Ho usato solo quello.
In pratica è come moltiplicare e dividere per $1/n^n$; all'esponente avresti: $log( 1 + 1/n^n)/(1/n^n)* n! * (1/n^n)$. Ma $log( 1 + 1/n^n)/(1/n^n) -> 1$ per il limite notevole che ti ho ricordato, dunque rimane da capire cosa succede a $n! * (1/n^n)$...
In pratica è come moltiplicare e dividere per $1/n^n$; all'esponente avresti: $log( 1 + 1/n^n)/(1/n^n)* n! * (1/n^n)$. Ma $log( 1 + 1/n^n)/(1/n^n) -> 1$ per il limite notevole che ti ho ricordato, dunque rimane da capire cosa succede a $n! * (1/n^n)$...
a ok ora ti seguo scusa non avevo visto con attenzione
che hai posto $1/n^n$ al posto di x
forse ci sono allora
$n! * (1/n^n)$= $(n!)/n^n$
di conseguenza resta [size=150]$e^ ((n!)/n^n)$[/size]
$(n!)/n^n = oo/oo $pero e piu veloce $n^n $e lo fa tendere a 0
allora [size=150]$e^ 0$[/size]=1
che hai posto $1/n^n$ al posto di x
"Seneca":
dunque rimane da capire cosa succede a $n! * (1/n^n)$...
forse ci sono allora
$n! * (1/n^n)$= $(n!)/n^n$
di conseguenza resta [size=150]$e^ ((n!)/n^n)$[/size]
$(n!)/n^n = oo/oo $pero e piu veloce $n^n $e lo fa tendere a 0
allora [size=150]$e^ 0$[/size]=1
"ana87":
$(n!)/n^n = oo/oo $pero e piu veloce $n^n $e lo fa tendere a 0
allora [size=150]$e^ 0$[/size]=1
Seneca ,
questa cosa che ho fatto e pssibile oppure sbaglio??
Se non è un fatto che hai visto a lezione, diciamo "noto", dovresti giustificare che $n!$ è un infinito di ordine inferiore rispetto a $n^n$ (magari usando questa)...
"Seneca":
Se non è un fatto che hai visto a lezione, diciamo "noto"
Si, per quello l'ho detto, abbiamo fatto l'ordine tipo $log X
per la seconda che mi dici
lim n->+ infinito $(n^n-2^n) $
Allora va bene. Per questo secondo limite basta raccogliere l'infinito di ordine superiore in quella differenza di infiniti.
$(n^n-2^n) $
cosi
$n^n(1-2^n/n^n) $ poi $oo*(1-0) $=$oo $ giusto??
cosi
$n^n(1-2^n/n^n) $ poi $oo*(1-0) $=$oo $ giusto??
Esatto...
Anche se quelle scritture con il simbolo di infinito, tieni presente, possono fuorviarti. Abituati a non usarle.
Anche se quelle scritture con il simbolo di infinito, tieni presente, possono fuorviarti. Abituati a non usarle.
Ti ringrazio ancora per l'aiuto Seneca.
Una cosa per esempio nel 4
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{2^nn^2 + sin(n) }
{3^n}
\)[/size]
potrei scegliere questo approccio
$sin(n)$ indipendentemente da cosa tende influisce poco
allora considero[size=150]\(\frac{2^nn^2} {3^n}\)[/size]e dico =0
oppure l'ho sparata grossa??
Una cosa per esempio nel 4
lim n->+ infinito
[size=200]\(
\frac{2^nn^2 + sin(n) }
{3^n}
\)[/size]
potrei scegliere questo approccio
$sin(n)$ indipendentemente da cosa tende influisce poco
allora considero[size=150]\(\frac{2^nn^2} {3^n}\)[/size]e dico =0
oppure l'ho sparata grossa??
Certo che puoi farlo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo