Qualche integrale
Ecco...
Quale sarebbe il risultato di questo integrale?
Integrale indefinito di: x * seno al quadrato di (1 + x^2)
Io ho provato a risolverlo con il metodo di sostituzione, t= (1 + x^2), quindi dx 1/(2 * (t - 1)^1/2), ma non mi riesce...
Quale sarebbe il risultato di questo integrale?
Integrale indefinito di: x * seno al quadrato di (1 + x^2)
Io ho provato a risolverlo con il metodo di sostituzione, t= (1 + x^2), quindi dx 1/(2 * (t - 1)^1/2), ma non mi riesce...
Risposte
Per prima cosa si usa la formula di bisezione del seno, cioè sen^2(a) = (1-cos(2a))/2
Nel tuo caso si ottiene x * (1-cos(2 + 2x^2))/2, cioè x/2 - x* cos(2+2x^2)/2
La primitiva di x/2 è (x^2)/4, resta da trovare la primitiva di - x * cos(2+2x^2)/2.
Raccogli fuori dal segno di integrale -1/8, dentro al segno di integrale ottieni 4x * cos(2 + 2x^2)
Questo è un integrale immediato e la primitiva è sen(2 + 2x^2).
Quindi il risultato dell'integrale è: (x^2)/4 - 1/8 sen(2 + 2 x^2)
Se poi lo volevi fare con la sotituzione non devi ricavare la x, ma quando arrivi a x^2 = t-1 devi poi scrivere:
2xdx=dt
Il procedimento poi è lo stesso.
Nel tuo caso si ottiene x * (1-cos(2 + 2x^2))/2, cioè x/2 - x* cos(2+2x^2)/2
La primitiva di x/2 è (x^2)/4, resta da trovare la primitiva di - x * cos(2+2x^2)/2.
Raccogli fuori dal segno di integrale -1/8, dentro al segno di integrale ottieni 4x * cos(2 + 2x^2)
Questo è un integrale immediato e la primitiva è sen(2 + 2x^2).
Quindi il risultato dell'integrale è: (x^2)/4 - 1/8 sen(2 + 2 x^2)
Se poi lo volevi fare con la sotituzione non devi ricavare la x, ma quando arrivi a x^2 = t-1 devi poi scrivere:
2xdx=dt
Il procedimento poi è lo stesso.
"Tipper":
Per prima cosa si usa la formula di bisezione del seno, cioè sen^2(a) = (1-cos(2a))/2
Nel tuo caso si ottiene x * (1-cos(2 + 2x^2))/2, cioè x/2 - x* cos(2+2x^2)/2
La primitiva di x/2 è (x^2)/4, resta da trovare la primitiva di - x * cos(2+2x^2)/2.
Raccogli fuori dal segno di integrale -1/8, dentro al segno di integrale ottieni 4x * cos(2 + 2x^2)
Questo è un integrale immediato e la primitiva è sen(2 + 2x^2).
Quindi il risultato dell'integrale è: (x^2)/4 - 1/8 sen(2 + 2 x^2)
Se poi lo volevi fare con la sotituzione non devi ricavare la x, ma quando arrivi a x^2 = t-1 devi poi scrivere:
2xdx=dt
Il procedimento poi è lo stesso.
Hai ragione, infatti risulta, l'ho controllato con Derive...
Ma come mai con la sostituzione che avevo proposto sopra non viene? Come si farebbe con questo metodo?
La sostituzione t=1+x^2 è corretta, il guaio è che se ti ricavi la x e calcoli il differenziale ti spunta una radice, e tutto si complica.
Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Dato che nell'integrale hai già una x che moltiplica, in questo modo xdx lo puoi sostituire con dt/2.
In questo modo l'argomento del seno è di primo grado e fuori non ci sono variabili a moltiplicare.
PS: Se l'integrale è indefinito ricordati anche il +c
Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Dato che nell'integrale hai già una x che moltiplica, in questo modo xdx lo puoi sostituire con dt/2.
In questo modo l'argomento del seno è di primo grado e fuori non ci sono variabili a moltiplicare.
PS: Se l'integrale è indefinito ricordati anche il +c
"Tipper":[/quote]
La sostituzione t=1+x^2 è corretta, il guaio è che se ti ricavi la x e calcoli il differenziale ti spunta una radice, e tutto si complica.
Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Dato che nell'integrale hai già una x che moltiplica, in questo modo xdx lo puoi sostituire con dt/2.
In questo modo l'argomento del seno è di primo grado e fuori non ci sono variabili a moltiplicare.
PS: Se l'integrale è indefinito ricordati anche il +c
Mi sembra tutto chiaro, solo, rispiegami questo punto:
[quote="Tipper"]Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Per completezza, questo è quello che svolgo io:
t=1+x^2 >> x^2=t-1 >> dx=1/(2 * (t-1)^1/2) dt
Quindi l'integrale diventa:
(t-1)^1/2 * seno al quadrato di t * 1/(2 * (t-1)^1/2) dt
e così semplifico la prima radice al numeratore con quella al denominatore...
Ecco qua... cosa ho sbagliato?
"Thunder_Storm":
[quote="Tipper"]La sostituzione t=1+x^2 è corretta, il guaio è che se ti ricavi la x e calcoli il differenziale ti spunta una radice, e tutto si complica.
Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Dato che nell'integrale hai già una x che moltiplica, in questo modo xdx lo puoi sostituire con dt/2.
In questo modo l'argomento del seno è di primo grado e fuori non ci sono variabili a moltiplicare.
PS: Se l'integrale è indefinito ricordati anche il +c
Mi sembra tutto chiaro, solo, rispiegami questo punto:
[quote="Tipper"]Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Per completezza, questo è quello che svolgo io:
t=1+x^2 >> x^2=t-1 >> dx=1/(2 * (t-1)^1/2) dt
Quindi l'integrale diventa:
(t-1)^1/2 * seno al quadrato di t * 1/(2 * (t-1)^1/2) dt
e così semplifico la prima radice al numeratore con quella al denominatore...
Ecco qua... cosa ho sbagliato?
[/quote][/quote]Non capisco il pezzo che ho evidenziato.
Se tu hai x^2 = t-1 e ti calcoli la derivata rispetto a t ottieni:
d(x^2)/dt = 1 quindi d(x^2) = dt
dato che d(x^2) = 2xdx si ottiene
2xdx=dt
1/(2 * (t-1)^1/2) è la derivata di sqrt(t-1) (non devi ricavare x, lascia x^2)
"Tipper":
[quote="Thunder_Storm"][quote="Tipper"]La sostituzione t=1+x^2 è corretta, il guaio è che se ti ricavi la x e calcoli il differenziale ti spunta una radice, e tutto si complica.
Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Dato che nell'integrale hai già una x che moltiplica, in questo modo xdx lo puoi sostituire con dt/2.
In questo modo l'argomento del seno è di primo grado e fuori non ci sono variabili a moltiplicare.
PS: Se l'integrale è indefinito ricordati anche il +c
Mi sembra tutto chiaro, solo, rispiegami questo punto:
[quote="Tipper"]Quando arrivi a x^2 = t-1, se derivi a questo punto ottieni 2xdx = dt
Per completezza, questo è quello che svolgo io:
t=1+x^2 >> x^2=t-1 >> dx=1/(2 * (t-1)^1/2) dt
Quindi l'integrale diventa:
(t-1)^1/2 * seno al quadrato di t * 1/(2 * (t-1)^1/2) dt
e così semplifico la prima radice al numeratore con quella al denominatore...
Ecco qua... cosa ho sbagliato?
[/quote]Non capisco il pezzo che ho evidenziato.
Se tu hai x^2 = t-1 e ti calcoli la derivata rispetto a t ottieni:
d(x^2)/dt = 1 quindi d(x^2) = dt
dato che d(x^2) = 2xdx si ottiene
2xdx=dt
1/(2 * (t-1)^1/2) è la derivata di sqrt(t-1) (non devi ricavare x, lascia x^2)[/quote][/quote]
Lasciando per un attimo da parte quello che non ho capito, ti chiedo un dubbio per volta...
Allora, per quanto riguarda il differenziale dopo aver sostituito t, pensavo che io dovessi ricavare la x, e derivarla, esattamente come mi hai scritto nell'ultima riga...
Ecco, in sostituzione di dx, non devo scriverci quindi 1/(2 * (t-1)^1/2) dt?
Il dubbio è qui: in questo caso NON ricavare x ma lascia x^2.
Deriva a destra e a snistra: la derivata di x^2 è 2x, la derivata di t-1 è 1, quindi ottieni 2xdx=dt.
Se ricavi la x nel sostituire i differenziali ti appaiono delle radici che rendono l'integrale molto più complicato.
A questo punto xdx=dt/2.
Nell'integrale hai sen^2(1+x^2) x dx
Al posto di x^2 metti t-1, al posto della parte in grassetto metti dt/2.
Deriva a destra e a snistra: la derivata di x^2 è 2x, la derivata di t-1 è 1, quindi ottieni 2xdx=dt.
Se ricavi la x nel sostituire i differenziali ti appaiono delle radici che rendono l'integrale molto più complicato.
A questo punto xdx=dt/2.
Nell'integrale hai sen^2(1+x^2) x dx
Al posto di x^2 metti t-1, al posto della parte in grassetto metti dt/2.
"Tipper":
Il dubbio è qui: in questo caso NON ricavare x ma lascia x^2.
Deriva a destra e a snistra: la derivata di x^2 è 2x, la derivata di t-1 è 1, quindi ottieni 2xdx=dt.
Se ricavi la x nel sostituire i differenziali ti appaiono delle radici che rendono l'integrale molto più complicato.
A questo punto xdx=dt/2.
Nell'integrale hai sen^2(1+x^2) x dx
Al posto di x^2 metti t-1, al posto della parte in grassetto metti dt/2.
Ah... ecco, ora mi sembra tutto chiaro!
Grazie mille!Per ora, non dovrei avere altri problemi!
Salve mi chiamo alfio ed ho un problema!!
vorreste darmi una mano a risolvere questo integrale?
int log(x-2rad.qtX) / rad.qtx(rad.qtx-1)^2
io ho sostituito x=t^2 ma poi non so andare avanti!!
aiutatemi vi prego!!!
ciao
vorreste darmi una mano a risolvere questo integrale?
int log(x-2rad.qtX) / rad.qtx(rad.qtx-1)^2
io ho sostituito x=t^2 ma poi non so andare avanti!!
aiutatemi vi prego!!!
ciao
Detto L l'integrale con la posizione x=t^2 si ha:
$L=int (ln(t^2-2t))/(t(t-1)^2)2tdt=2intln(t^2-2t) d ((-1)/(t-1))=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)+2int1/(t-1)*2(t-1)/(t^2-2t)dt$
Ovvero:
$L=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)+2int[-1/t+1/(t-2)]dt=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)-lnt+ln(t-2)+C$
Tornando a $t=sqrtx$ si ha in definitiva:
[size=150]$L=-2/(sqrtx-1)ln|x-2sqrtx|-ln|x|+2ln|sqrtx-2|+C$[/size]
Archimede
$L=int (ln(t^2-2t))/(t(t-1)^2)2tdt=2intln(t^2-2t) d ((-1)/(t-1))=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)+2int1/(t-1)*2(t-1)/(t^2-2t)dt$
Ovvero:
$L=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)+2int[-1/t+1/(t-2)]dt=(-2)/(t-1)ln(t^2-2t)-lnt+ln(t-2)+C$
Tornando a $t=sqrtx$ si ha in definitiva:
[size=150]$L=-2/(sqrtx-1)ln|x-2sqrtx|-ln|x|+2ln|sqrtx-2|+C$[/size]
Archimede
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