Qualche esercizio d'interesse sulle ODE e primitive
1) Mostrare che il problema di Cauchy
\[\displaystyle \begin{cases} y'={{x^2-1}\over{x^2y^4+x^2+1}} \\ y(1)=3 \end{cases} \]
ammetta soluzione $\phi$ unica su tutto $\mathbb{R}$. Individuare i punti estremanti di $\phi$ precisandone la natura; mostrare quindi che esistono i limiti a $x\rightarrow +\infty$ e a $x\rightarrow -\infty$ e determinarli. Non è richiesta e non è necessaria la determinazione esplicita di $\phi$.
Per dimostrare avevo pensato di usare il teorema di esistenza e unicità globale. Dovevo dunque dimostrare che la funzione $f(x,y)$ a destra è lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente rispetto a $x$. Per fare ciò basta dimostrare che la derivata parziale rispetto a $y$ è limitata. Non sono riuscito a minorare la funzione. Per i punti estremanti basta guardare \(\displaystyle y' \) e si trova che gli estremanti sono in $x=\pm 1$. Basta poi studiare il segno perché il denominatore è sempre positivo quindi in $x=1$ c'è un minimo relativo e in $x=-1$ c'è un massimo relativo. Per i limiti ho pensato di ragionare in questo modo. Restringendo \(\displaystyle y' \) in $y=0$, la funzione tende a 1 quando $x\rightarrow +\infty$ quindi da lì ho concluso che il $\phi$ diverge quando $x$ diverge positivamente. L'unico problema che ho adesso è la divergenza negativa perché i risultati dicono che $\phi$ diverge negativamente quando $x$ diverge negativamente.
2) Stabilire se la funzione ammette primitiva su $RR$
\[\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sin({1\over x}) \qquad x\neq 0 \\ 1/2 \qquad\qquad x=0 \end{cases} \]
Sicuramente ammette primitiva su qualunque intervallo, anche non limitato, che non contenga lo $0$. L'unica cosa da fare è verificare che le due funzioni primitive a destra e sinistra dello zero si possono incollare nello $0$. Però non riesco ad andare oltre
\[\displaystyle \begin{cases} y'={{x^2-1}\over{x^2y^4+x^2+1}} \\ y(1)=3 \end{cases} \]
ammetta soluzione $\phi$ unica su tutto $\mathbb{R}$. Individuare i punti estremanti di $\phi$ precisandone la natura; mostrare quindi che esistono i limiti a $x\rightarrow +\infty$ e a $x\rightarrow -\infty$ e determinarli. Non è richiesta e non è necessaria la determinazione esplicita di $\phi$.
Per dimostrare avevo pensato di usare il teorema di esistenza e unicità globale. Dovevo dunque dimostrare che la funzione $f(x,y)$ a destra è lipschitziana rispetto a $y$ uniformemente rispetto a $x$. Per fare ciò basta dimostrare che la derivata parziale rispetto a $y$ è limitata. Non sono riuscito a minorare la funzione. Per i punti estremanti basta guardare \(\displaystyle y' \) e si trova che gli estremanti sono in $x=\pm 1$. Basta poi studiare il segno perché il denominatore è sempre positivo quindi in $x=1$ c'è un minimo relativo e in $x=-1$ c'è un massimo relativo. Per i limiti ho pensato di ragionare in questo modo. Restringendo \(\displaystyle y' \) in $y=0$, la funzione tende a 1 quando $x\rightarrow +\infty$ quindi da lì ho concluso che il $\phi$ diverge quando $x$ diverge positivamente. L'unico problema che ho adesso è la divergenza negativa perché i risultati dicono che $\phi$ diverge negativamente quando $x$ diverge negativamente.
2) Stabilire se la funzione ammette primitiva su $RR$
\[\displaystyle f(x)=\begin{cases} \sin({1\over x}) \qquad x\neq 0 \\ 1/2 \qquad\qquad x=0 \end{cases} \]
Sicuramente ammette primitiva su qualunque intervallo, anche non limitato, che non contenga lo $0$. L'unica cosa da fare è verificare che le due funzioni primitive a destra e sinistra dello zero si possono incollare nello $0$. Però non riesco ad andare oltre
Risposte
potrebbe aiutarti il fatto che
$abs((x^2-1)/(x^2y^4+x^2+1))leq1$
Per la 2, se vuoi fare come suggerisci devi però poter calcolare una primitiva esplicita per \(x>0\) e per \(x<0\). Lo sai fare? A me non sembra immediato.
Io, invece, definirei la funzione
\[
F(x):=\int_0^x \sin\frac{1}{y}\, dy, \]
e cercherei di capire se è differenziabile e se è vero che \(F'(x)=f(x)\) per ogni \(x\in\mathbb R\). Naturalmente, l'unico punto dubbio è \(x=0\).
Io, invece, definirei la funzione
\[
F(x):=\int_0^x \sin\frac{1}{y}\, dy, \]
e cercherei di capire se è differenziabile e se è vero che \(F'(x)=f(x)\) per ogni \(x\in\mathbb R\). Naturalmente, l'unico punto dubbio è \(x=0\).
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