Qualche dubbio su Laplace
Gentilissimi,
sto studiando la trasformata di Laplace e malgrado gli sforzi non riesco a comprendere alcuni punti. Qualche spunto mi sarebbe preziosissimo. Vi ringrazio in anticipo per la vostra sempre squisita cortesia.
1) parlando delle funzioni di ordine esponenziale: consideriamo la funzione f tale che:
$ abs(f(t))<=M\cdote^(\alpha t) $
sappiamo che $ M\cdote^(\alpha t) $ è certamente L-trasformabile e ha ascissa di convergenza alfa (anche su come dimostrare questo avrei qualche perplessità in effetti).
Quindi, dice il mio testo, necessariamente l'ascissa di convergenza della f(t) è $ <=\alpha $
Il motivo di questa consequenzialità mi è oscuro.
(In effetti ho preso per buono il concetto stesso di ascissa di convergenza, ma non ne ho affatto afferrate le ragioni, non ho cioè compreso come mai debba esistere!)
2) Ho letto che è possibile utilizzare il prolungamento analitico di Weierstrass per estendere la definizione della trasformata di Laplace a tutto il piano complesso eccetto i punti di singolarità. Si intende a sinistra dell'ascissa di convergenza? Ma a quale scopo? Come funziona?
3) Su che base scelgo se includere o escludere l'origine nella proprietà di derivazione nella variabile t? In generale viene sempre inclusa giusto?
4) Non capisco l'ultimo passaggio della dimostrazione del teorema del valore iniziale. Ricapitolo la dimostrazione: ho una f(t), dapprima la sviluppo in serie di Taylor:
$ f(t)=f_0+f_1/(1!)(t-t_0)+f_2/(2!)(t-t_0)^2+...+f_k/(k!)(t-t_0)^k $
quindi applicando $ t_0=0 $ ricavo la serie di Mac Laurin:
$ f(t)=f_0+f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k $
dopodiché applico la trasformata ad ambo i membri:
$ F(s)=f_0*1/s+f_1*1/s^2+f_2*1/s^3+...+f_k*1/s^(k+1) $
e fin qui nessun problema. Quello che non capisco è come passare da quest'ultima equazione alla conclusione:
$ lim_(t -> 0) f(t) = lim_(s->\infty)(s*F(s)) $
si usa la serie geometrica?
5) In un'altra dimostrazione, quella sul calcolo dei residui polari, si effettuano alcuni passaggi che mi sono oscuri.
Si sta cercando di scrivere in modo analitico i coefficienti $ k_n $ della seguente funzione trasformata:
$ G(s)=k_1/(s-s_1)^h+k_2/(s-s_1)^(h-1)+...+k_h/(s-s_1)+T(s) $
I passaggi misteriosi sono i seguenti:
$ (s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h $
eseguendo l'operazione di limite:
$ lim_(s->s_1) ((s-s_1)^h*G(s))=k_1 $
derivando in s e iterando la procedura di limite:
$ d[(s-s_1)^h*G(s)]/(ds)=k_2+2*k_3*(s-s_1)+...+(h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2)+ rest\o $
ecc.
Vi ringrazio infinitamente per qualsiasi aiuto mi possiate dare. Sarà preziosissimo. Grazie!
sto studiando la trasformata di Laplace e malgrado gli sforzi non riesco a comprendere alcuni punti. Qualche spunto mi sarebbe preziosissimo. Vi ringrazio in anticipo per la vostra sempre squisita cortesia.
1) parlando delle funzioni di ordine esponenziale: consideriamo la funzione f tale che:
$ abs(f(t))<=M\cdote^(\alpha t) $
sappiamo che $ M\cdote^(\alpha t) $ è certamente L-trasformabile e ha ascissa di convergenza alfa (anche su come dimostrare questo avrei qualche perplessità in effetti).
Quindi, dice il mio testo, necessariamente l'ascissa di convergenza della f(t) è $ <=\alpha $
Il motivo di questa consequenzialità mi è oscuro.
(In effetti ho preso per buono il concetto stesso di ascissa di convergenza, ma non ne ho affatto afferrate le ragioni, non ho cioè compreso come mai debba esistere!)
2) Ho letto che è possibile utilizzare il prolungamento analitico di Weierstrass per estendere la definizione della trasformata di Laplace a tutto il piano complesso eccetto i punti di singolarità. Si intende a sinistra dell'ascissa di convergenza? Ma a quale scopo? Come funziona?
3) Su che base scelgo se includere o escludere l'origine nella proprietà di derivazione nella variabile t? In generale viene sempre inclusa giusto?
4) Non capisco l'ultimo passaggio della dimostrazione del teorema del valore iniziale. Ricapitolo la dimostrazione: ho una f(t), dapprima la sviluppo in serie di Taylor:
$ f(t)=f_0+f_1/(1!)(t-t_0)+f_2/(2!)(t-t_0)^2+...+f_k/(k!)(t-t_0)^k $
quindi applicando $ t_0=0 $ ricavo la serie di Mac Laurin:
$ f(t)=f_0+f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k $
dopodiché applico la trasformata ad ambo i membri:
$ F(s)=f_0*1/s+f_1*1/s^2+f_2*1/s^3+...+f_k*1/s^(k+1) $
e fin qui nessun problema. Quello che non capisco è come passare da quest'ultima equazione alla conclusione:
$ lim_(t -> 0) f(t) = lim_(s->\infty)(s*F(s)) $
si usa la serie geometrica?
5) In un'altra dimostrazione, quella sul calcolo dei residui polari, si effettuano alcuni passaggi che mi sono oscuri.
Si sta cercando di scrivere in modo analitico i coefficienti $ k_n $ della seguente funzione trasformata:
$ G(s)=k_1/(s-s_1)^h+k_2/(s-s_1)^(h-1)+...+k_h/(s-s_1)+T(s) $
I passaggi misteriosi sono i seguenti:
$ (s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h $
eseguendo l'operazione di limite:
$ lim_(s->s_1) ((s-s_1)^h*G(s))=k_1 $
derivando in s e iterando la procedura di limite:
$ d[(s-s_1)^h*G(s)]/(ds)=k_2+2*k_3*(s-s_1)+...+(h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2)+ rest\o $
ecc.
Vi ringrazio infinitamente per qualsiasi aiuto mi possiate dare. Sarà preziosissimo. Grazie!
Risposte
Ciao A340_642,
Ora ho poco tempo, quindi per adesso riesco a risponderti solo ai punti 4) e 5) che mi sembrano particolarmente semplici.
4) Nessuna serie geometrica:
$f(t)=f_0+f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k +...\implies $
$\implies lim_{t \to 0} f(t) = lim_{t \to 0}(f_0 +f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k +...) = f_0$
Trasformando secondo Laplace si ha:
$F(s)=f_0*1/s+f_1*1/s^2+f_2*1/s^3+...+f_k*1/s^(k+1)+...$
Moltiplicando entrambe i membri per $s$, si ha:
$sF(s) = f_0 + f_1*1/s + f_2*1/s^2 +...+ f_k*1/s^{k} +... \implies $
$\implies lim_{s \to infty} sF(s) = lim_{s \to infty}(f_0 + f_1*1/s + f_2*1/s^2 +...+ f_k*1/s^{k}+...) = f_0$
Ma avevamo già trovato che $lim_{t \to 0} f(t) = f_0$, da cui l'asserto.
5) Onestamente non vedo passaggi misteriosi:
$G(s)=k_1/(s-s_1)^h+k_2/(s-s_1)^(h-1)+...+k_h/(s-s_1)+T(s)$
Moltiplicando entrambe i membri per $(s - s_1)^h$ si trova proprio la relazione che hai scritto:
$(s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h$
Quindi:
$lim_{s \to s_1} (s-s_1)^h*G(s) = $
$ = lim_{s \to s_1} [k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h] = k_1$
Derivando $(s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h$ rispetto a $s$ si ha:
$frac{d}{ds}[(s-s_1)^h*G(s)] = k_2 + 2*k_3*(s-s_1) +...+ (h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2) + R(s)$
Quindi:
$lim_{s \to s_1} frac{d}{ds} [(s-s_1)^h*G(s)] = lim_{s \to s_1} [ k_2 + 2*k_3*(s-s_1) +...+ (h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2)+ R(s)] = k_2$
e così via...
Ora ho poco tempo, quindi per adesso riesco a risponderti solo ai punti 4) e 5) che mi sembrano particolarmente semplici.
4) Nessuna serie geometrica:
$f(t)=f_0+f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k +...\implies $
$\implies lim_{t \to 0} f(t) = lim_{t \to 0}(f_0 +f_1/(1!)t+f_2/(2!)t^2+...+f_k/(k!)t^k +...) = f_0$
Trasformando secondo Laplace si ha:
$F(s)=f_0*1/s+f_1*1/s^2+f_2*1/s^3+...+f_k*1/s^(k+1)+...$
Moltiplicando entrambe i membri per $s$, si ha:
$sF(s) = f_0 + f_1*1/s + f_2*1/s^2 +...+ f_k*1/s^{k} +... \implies $
$\implies lim_{s \to infty} sF(s) = lim_{s \to infty}(f_0 + f_1*1/s + f_2*1/s^2 +...+ f_k*1/s^{k}+...) = f_0$
Ma avevamo già trovato che $lim_{t \to 0} f(t) = f_0$, da cui l'asserto.
5) Onestamente non vedo passaggi misteriosi:
$G(s)=k_1/(s-s_1)^h+k_2/(s-s_1)^(h-1)+...+k_h/(s-s_1)+T(s)$
Moltiplicando entrambe i membri per $(s - s_1)^h$ si trova proprio la relazione che hai scritto:
$(s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h$
Quindi:
$lim_{s \to s_1} (s-s_1)^h*G(s) = $
$ = lim_{s \to s_1} [k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h] = k_1$
Derivando $(s-s_1)^h*G(s)=k_1+k_2*(s-s_1)+k_3*(s-s_1)^2+...+k_h*(s-s_1)^(h-1)+T(s)*(s-s_1)^h$ rispetto a $s$ si ha:
$frac{d}{ds}[(s-s_1)^h*G(s)] = k_2 + 2*k_3*(s-s_1) +...+ (h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2) + R(s)$
Quindi:
$lim_{s \to s_1} frac{d}{ds} [(s-s_1)^h*G(s)] = lim_{s \to s_1} [ k_2 + 2*k_3*(s-s_1) +...+ (h-1)*k_h*(s-s_1)^(h-2)+ R(s)] = k_2$
e così via...
Grazie mille pilloeffe! Spiegazioni limpidissime, i punti (4) e (5) ora mi sono chiari. Grazie davvero!
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