Qualche dubbio su integrale binomio.
Ciao ragazzi. Ho qualche dubbio sulla risoluzione di questo integrale.
$\int_-1^1\|x|*sqrt(x^4 +1)dx$
Uno dei primi metodi che ho applicato per risolverlo è stato quello della sostituzione, ponendo $sqrt(x^4 + 1)=(x^2 + t^2)$
Da ciò mi sono ricavato la x: $x=sqrt(\frac{1 - t^4}{2t^2})$
e il differenziale $dx=\frac{(-4t^5 - 4t)/(4t^4)}{2*sqrt(1 - t^4)/(2t^2)}$
Una volta sostituito il tutto arrivo ad una forma: $\frac{(1+t^4)^2}{4t^5}$ e mi blocco, non sapendo bene cosa fare di più.
Ho provato ad integrare per parti ma senza arrivare ad un buon risultato.
Ho inserito questo integrale sul Derive 6 e ho questo risultato(risolvendolo per il momento in maniera indefinita): $(x^2 * sqrt(x^4 +1))/4 + ln(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/4$
Non ho capito bene come il programma arrivi a tale risultato, vi posto i passaggi che mi sembrano i più importanti, in attesa di Vostre delucidazioni.
1) Si pone: $\int_-1^1f(x)dx = 2 * \int_0^1f(x)dx$
Non so di preciso come viene applicata questa proprietà. Ho cercato sul mio libro di teoria qualcosa che spiegasse questo passaggio, e sono arrivato ad una conclusione simile nel capitolo degli integrali generalizzati ed impropri, ma l'integrale in questione non appartiene a queste tipologie.
2) Nel secondo passaggio, il programma si attiene alla risoluzione di un integrale binomio, che il mio libro spiega poco e male.
$\int (x)^m * (a + bx^n)^pdx$ = $\frac{(x)^(m+1) * (a + bx^n)^p}{n*p + m + 1} + \frac{(n*p*a)*\int (x)^m * (a + bx^n)^(p-1)}{n*p + m +1}$
In questo modo ho già capito un pò come si arrivi al risultato. Potete aiutarmi a capire di più questi passaggi, per favore? Queste sono regole che posso applicare sempre nel caso ho integrali di questo tipo?
Grazie, ciao.
$\int_-1^1\|x|*sqrt(x^4 +1)dx$
Uno dei primi metodi che ho applicato per risolverlo è stato quello della sostituzione, ponendo $sqrt(x^4 + 1)=(x^2 + t^2)$
Da ciò mi sono ricavato la x: $x=sqrt(\frac{1 - t^4}{2t^2})$
e il differenziale $dx=\frac{(-4t^5 - 4t)/(4t^4)}{2*sqrt(1 - t^4)/(2t^2)}$
Una volta sostituito il tutto arrivo ad una forma: $\frac{(1+t^4)^2}{4t^5}$ e mi blocco, non sapendo bene cosa fare di più.
Ho provato ad integrare per parti ma senza arrivare ad un buon risultato.
Ho inserito questo integrale sul Derive 6 e ho questo risultato(risolvendolo per il momento in maniera indefinita): $(x^2 * sqrt(x^4 +1))/4 + ln(sqrt(x^4 + 1) + x^2)/4$
Non ho capito bene come il programma arrivi a tale risultato, vi posto i passaggi che mi sembrano i più importanti, in attesa di Vostre delucidazioni.
1) Si pone: $\int_-1^1f(x)dx = 2 * \int_0^1f(x)dx$
Non so di preciso come viene applicata questa proprietà. Ho cercato sul mio libro di teoria qualcosa che spiegasse questo passaggio, e sono arrivato ad una conclusione simile nel capitolo degli integrali generalizzati ed impropri, ma l'integrale in questione non appartiene a queste tipologie.
2) Nel secondo passaggio, il programma si attiene alla risoluzione di un integrale binomio, che il mio libro spiega poco e male.
$\int (x)^m * (a + bx^n)^pdx$ = $\frac{(x)^(m+1) * (a + bx^n)^p}{n*p + m + 1} + \frac{(n*p*a)*\int (x)^m * (a + bx^n)^(p-1)}{n*p + m +1}$
In questo modo ho già capito un pò come si arrivi al risultato. Potete aiutarmi a capire di più questi passaggi, per favore? Queste sono regole che posso applicare sempre nel caso ho integrali di questo tipo?
Grazie, ciao.
Risposte
scusa ma riesco a seguire a stento i tuoi passaggi; comunque io per prima cosa osserverei che la funzione è pari (se non sbaglio) quindi simmetrica rispetto alla rettta x=0 e forse proprio per questo derive sostituisce l'integrale con 2 volte l'integrale tra 0 e 1.
Poi io comincere subito per parti considerando come fattore da derivare x in modo che non crea più problemi e come fattore da integrare la radice.
Per svolgere poi questo integrale farei per sostituzione $(x+t)=(x^4+1)^(1/4)$
Facendo tutti i conti DOVREBBE venire una cosa simile a integrale di $(t^2)/(t-1)$
A questo punto sottraendo e poi aggiungendo 1 al numeratore il gioco DOVREBBE essere fatto.
Se individuo errori o mi vengonpo idee più veloci riposterò.
Poi io comincere subito per parti considerando come fattore da derivare x in modo che non crea più problemi e come fattore da integrare la radice.
Per svolgere poi questo integrale farei per sostituzione $(x+t)=(x^4+1)^(1/4)$
Facendo tutti i conti DOVREBBE venire una cosa simile a integrale di $(t^2)/(t-1)$
A questo punto sottraendo e poi aggiungendo 1 al numeratore il gioco DOVREBBE essere fatto.
Se individuo errori o mi vengonpo idee più veloci riposterò.
Grazie Feliciano per la tua risposta. Puoi indicarmi quali passaggi non riesci a seguire, per favore, in modo da renderli più chiari?
Non mi ero soffermato sulla simmetria della funzione, che, come dici tu è pari e forse per questo si spiega perchè il derive scriva l'integrale 2 volte con estremo inferiore 0 ed estremo superiore 1.
La sostituzione che fai $(x + t)= (x^4 +1)^(1/4)$ non mi sembra molto corretta, il fattore $(x^4 + 1)$ nell'integrale ha indice 1/2 , quindi radice quadrata, non 1/4, come scrivi nella sostituzione. Non è possibile sostituire un indice a nostro piacimento affinchè ci quadrano i conti. Facendo poi i conti, seguendo il tuo procedimento, mi vengono troppi fattori e non riesco a ricavarmi bene la x e il differenziale.
Certo, se poi dovrebbe venire un integrale simile $(t^2)/(t-1)$ , allora siamo messi bene. Grazie per l'aiuto!
Non mi ero soffermato sulla simmetria della funzione, che, come dici tu è pari e forse per questo si spiega perchè il derive scriva l'integrale 2 volte con estremo inferiore 0 ed estremo superiore 1.
La sostituzione che fai $(x + t)= (x^4 +1)^(1/4)$ non mi sembra molto corretta, il fattore $(x^4 + 1)$ nell'integrale ha indice 1/2 , quindi radice quadrata, non 1/4, come scrivi nella sostituzione. Non è possibile sostituire un indice a nostro piacimento affinchè ci quadrano i conti. Facendo poi i conti, seguendo il tuo procedimento, mi vengono troppi fattori e non riesco a ricavarmi bene la x e il differenziale.
Certo, se poi dovrebbe venire un integrale simile $(t^2)/(t-1)$ , allora siamo messi bene. Grazie per l'aiuto!
@Albertus16: ma vedi che stavi andando bene! Una volta arrivato a $((1+t^4)^2)/(4t^5)$ hai ottenuto l'integrale di una funzione razionale, che si risolve con tecniche standard. Stai attento al valore assoluto, per farlo sparire osserva, come ha fatto Feliciano, che la funzione da integrare è pari e perciò puoi applicare il punto 1).
[O.T] come avatar ti sei scelto uno dei miei dischi preferiti di sempre![/O.T.]
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Grazie dissonance. Cerco di risolvere $\frac{(1+t^4)^2}{4t^5}$ , come dici tu, con i metodi standard. Vediamo se riesco ad arrivare ad un buon risultato.
[O.T.] sono contento che anche a te piacciano i motorhead e il loro gran disco! [/O.T.]
[O.T.] sono contento che anche a te piacciano i motorhead e il loro gran disco! [/O.T.]
si è elevato alla 1/2, ho sbagliato semplicemente a trasrivere.
Comunque io ho tutti i calcoli su un foglietto ma a scanso di errori è meglio proseguire da dove sei giunto, solo che si dovrebbe effettuare una divisione tra polinomi per avere al numeratore un grado più basso.
Prova, nel malaugurato caso, non si giungesse a qualcosa di risolutivo (cosa che non credo), ricontrollerò i miei conti e li posterò
Comunque io ho tutti i calcoli su un foglietto ma a scanso di errori è meglio proseguire da dove sei giunto, solo che si dovrebbe effettuare una divisione tra polinomi per avere al numeratore un grado più basso.
Prova, nel malaugurato caso, non si giungesse a qualcosa di risolutivo (cosa che non credo), ricontrollerò i miei conti e li posterò
solo una cosa
$int(t^2/(t-1))=int(t^2-1)/(t-1)+int(1/(t-1))=int(t+1)+log(t-1)=t^2/2+t+log(t-1)$
e poi per quanto riguarda la sostituzione io la conosco come sostituzione standard e quindi ho già segnati la x e $g'(t)$
$int(t^2/(t-1))=int(t^2-1)/(t-1)+int(1/(t-1))=int(t+1)+log(t-1)=t^2/2+t+log(t-1)$
e poi per quanto riguarda la sostituzione io la conosco come sostituzione standard e quindi ho già segnati la x e $g'(t)$
Grazie, ancora Feliciano. Ho cercato di applicare la sostituzione da te suggerita, $(x + t)= (x^4 +1)^(1/2)$.
Quindi avrò $x^2 + 2x*t + t^2 = x^4 + 1$ . Ma come posso continuare? In questo modo, non posso semplificare il fattore $x^2$ al primo membro, con $x^4$ al secondo, come normalmente bisogna fare in modo da ricavarmi la $x^2$ in funzione di $t$ semplicemente.
Infatti, avrò: $x^4 -x^2 -2x*t = t^2 - 1$
e raccogliendo x: $x*(x^3 -x -2t) = t^2 - 1$
Così a me viene molto difficile risolvere trovarmi la $x$ e il differenziale $dx$ in funzione di $dt$. Sei sicuro, Feliciano?
In caso, potresti postarmi i passaggi, per favore?
@dissonance: ho qualche difficoltà nella risoluzione da te suggerita. Un'ulteriore indizio?
Quindi avrò $x^2 + 2x*t + t^2 = x^4 + 1$ . Ma come posso continuare? In questo modo, non posso semplificare il fattore $x^2$ al primo membro, con $x^4$ al secondo, come normalmente bisogna fare in modo da ricavarmi la $x^2$ in funzione di $t$ semplicemente.
Infatti, avrò: $x^4 -x^2 -2x*t = t^2 - 1$
e raccogliendo x: $x*(x^3 -x -2t) = t^2 - 1$
Così a me viene molto difficile risolvere trovarmi la $x$ e il differenziale $dx$ in funzione di $dt$. Sei sicuro, Feliciano?
In caso, potresti postarmi i passaggi, per favore?
@dissonance: ho qualche difficoltà nella risoluzione da te suggerita. Un'ulteriore indizio?
"Albertus16":
Sei sicuro, Feliciano?
Assolutamente no!!!
(alla fine sono semplciemente al primo anno di ingegneria biomedica non sono mica un esperto)
Comunque adesso riprovo a rifarlo e semmai posto quello ceh ottengo
considera nullo quello che ho scritto ieri perchè ho sbagliato gli esponenti e quindi è tutto sballato. Quella sostituzione che dicevo infatti è utile nel caso radice di $ax^2+bx+c$ con a>0, quindi non c'entra niente con questo caso. SCUSAMI se ti ho fatto perdere tempo.
Comunque per cercare di limitare il danno posto quello che ho pensato:
(per integrale intendo integrale tra 0 e 1)
$=2int(x(x^4+1)^(1/2))$ per il discorso sulla simemtria già fatto
sostituisco $t=x^2$ da cui $x=t^(1/2)$ e $g'(t)=1/(2(t)^(1/2))$
quindi
$=int((t^(1/2)(t^2+1)^(1/2)))/(t^(1/2)))$
a questo punto per parti
$u'=1$ $u=t$ $v=(t^2+1)^(1/2)$ $v'=t/((t^2+1)^(1/2))$
$=[t(t^2+1)^(1/2)]-int(t^2/((t^2+1)^(1/2)))=[t(t^2+1)^(1/2)]-[int((t^2+1)/((t^2+1)^(1/2)))-int(1/((t^2+1)^(1/2)))]$
$=[t(t^2+1)^(1/2)]+[settsinht]-int((t^2+1)^(1/2)))$
A questo punto osservo che (credo ti siano già capitati integrali di questo tipo "ciclici")
$int((t^2+1)^(1/2))=(+[t(t^2+1)^(1/2)]+[settsinht])/2$
Bisogna poi ricordarsi che la t sta variando tra 0 e 1
e chiarisco che per $[settsinht]$ intendo il settore seno iperbolico ovvero $=log(t+(t^2+1)^(1/2))$
$int=((2)^(1/2)+(log(1+2^(1/2))))/2$
Magari domani provo a rileggerlo con calma per vedere se trovo altri errori, nel frattempo prendimi con le molle e spera che intervenga anche qualche altro più preparato.
Un saluto
EDIT: vedo adesso che è lo stesso risultato di Derive che hai scritto nel primo post a meno di moltiplicare tutto per -1/2, ma adesso non sono riuscito a capire dove l'ho mancato
EDIT2: credo di trovarmi perchè per quanto riguarda il segno avevo comemsso una distrazione che ho corretto e per quanto riguarda 1/2 ho scritto l'integrale con Derive e quello postato da te nel primo post è il risultato dell'integrale indefinito; per le ragioni di simmetria dobbiamo moltiplicare per 2 e quindi ci troviamo col mio risultato
Comunque per cercare di limitare il danno posto quello che ho pensato:
(per integrale intendo integrale tra 0 e 1)
$=2int(x(x^4+1)^(1/2))$ per il discorso sulla simemtria già fatto
sostituisco $t=x^2$ da cui $x=t^(1/2)$ e $g'(t)=1/(2(t)^(1/2))$
quindi
$=int((t^(1/2)(t^2+1)^(1/2)))/(t^(1/2)))$
a questo punto per parti
$u'=1$ $u=t$ $v=(t^2+1)^(1/2)$ $v'=t/((t^2+1)^(1/2))$
$=[t(t^2+1)^(1/2)]-int(t^2/((t^2+1)^(1/2)))=[t(t^2+1)^(1/2)]-[int((t^2+1)/((t^2+1)^(1/2)))-int(1/((t^2+1)^(1/2)))]$
$=[t(t^2+1)^(1/2)]+[settsinht]-int((t^2+1)^(1/2)))$
A questo punto osservo che (credo ti siano già capitati integrali di questo tipo "ciclici")
$int((t^2+1)^(1/2))=(+[t(t^2+1)^(1/2)]+[settsinht])/2$
Bisogna poi ricordarsi che la t sta variando tra 0 e 1
e chiarisco che per $[settsinht]$ intendo il settore seno iperbolico ovvero $=log(t+(t^2+1)^(1/2))$
$int=((2)^(1/2)+(log(1+2^(1/2))))/2$
Magari domani provo a rileggerlo con calma per vedere se trovo altri errori, nel frattempo prendimi con le molle e spera che intervenga anche qualche altro più preparato.
Un saluto
EDIT: vedo adesso che è lo stesso risultato di Derive che hai scritto nel primo post a meno di moltiplicare tutto per -1/2, ma adesso non sono riuscito a capire dove l'ho mancato
EDIT2: credo di trovarmi perchè per quanto riguarda il segno avevo comemsso una distrazione che ho corretto e per quanto riguarda 1/2 ho scritto l'integrale con Derive e quello postato da te nel primo post è il risultato dell'integrale indefinito; per le ragioni di simmetria dobbiamo moltiplicare per 2 e quindi ci troviamo col mio risultato
2) Nel secondo passaggio, il programma si attiene alla risoluzione di un integrale binomio, che il mio libro spiega poco e male.
$\int (x)^m * (a + bx^n)^pdx$ = $\frac{(x)^(m+1) * (a + bx^n)^p}{n*p + m + 1} + \frac{(n*p*a)*\int (x)^m * (a + bx^n)^(p-1)}{n*p + m +1}$
In questo modo ho già capito un pò come si arrivi al risultato. Potete aiutarmi a capire di più questi passaggi, per favore? Queste sono regole che posso applicare sempre nel caso ho integrali di questo tipo?
si tratta delle condizioni di Cebyscev. questo tipo di integrale è risolubile in maniera elementare in tre casi:
1. se $p$ è intero
2. se $(m+1)/n$ è intero [come nel tuo caso] *
3. se $(m+1)/n+p$ è intero [in tal caso si ricorre alla sostituzione $ax^(-n)+b=z^s$, dove $s$ è il denominatore della frazione $p$]
* nel caso 2. si ricorre alla sostituzione $a+bx^n=z^s$, dove $s$ è il denominatore della frazione $p$
NB: sono miei appunti tratti dal Demidovic
nel tuo caso $m=1, n=4, p=1/2$, $(m+1)/n=1$, $s=2$
sostituzione $1+x^4=z^2$... prova a continuare e verifica se è coerente con quanto hai trovato. ciao.
Figurati Feliciano, io sono ad ingegneria informatica, non ci sono problemi, anche io non sono un genio in analisi 1, possono sbagliare tutti. Fa niente.
Ho controllato i tuoi passaggi, non mi sembra ci siano errori! Alcuni dei miei dubbi sullo studio di questo integrale, credo siano imputabili alla non conoscenza degli integrali di tipo "ciclico", come dici tu. Infatti, il professore non ha mai detto una parola su questa tipologia e il libro, per quanto ci sia un esempio a riguardo, non spiega che $[settsinht] =log(t+(t^2+1)^(1/2))$. Inoltre non conoscevo questa proprietà degli integrali, che nel caso siano presenti valori assoluti nella funzione integranda, e avendo estremi uguali ed opposti dell'integrale definito, posso moltiplicarlo per 2.
Stamattina grazie ad una mia collega, sono riuscito a risolvere completamente l'integrale, semplicemente ponendo $(x^4 + 1)/(x^4) = (t^2)$, che adaBTTLS nomina come "condizioni di Cebyscev", e che il mio libro spiega malissimo a quanto ho visto. Da ciò sono riuscito a ricavarmi la $x$ e il $dx$ e di conseguenza il valore dell'integrale in modo definito.
Grazie a tutti. Grazie Feliciano, grazie adaBTTLS, grazie dissonance. Grazie a voi sono riuscito a capire tanto.
Ho controllato i tuoi passaggi, non mi sembra ci siano errori! Alcuni dei miei dubbi sullo studio di questo integrale, credo siano imputabili alla non conoscenza degli integrali di tipo "ciclico", come dici tu. Infatti, il professore non ha mai detto una parola su questa tipologia e il libro, per quanto ci sia un esempio a riguardo, non spiega che $[settsinht] =log(t+(t^2+1)^(1/2))$. Inoltre non conoscevo questa proprietà degli integrali, che nel caso siano presenti valori assoluti nella funzione integranda, e avendo estremi uguali ed opposti dell'integrale definito, posso moltiplicarlo per 2.
Stamattina grazie ad una mia collega, sono riuscito a risolvere completamente l'integrale, semplicemente ponendo $(x^4 + 1)/(x^4) = (t^2)$, che adaBTTLS nomina come "condizioni di Cebyscev", e che il mio libro spiega malissimo a quanto ho visto. Da ciò sono riuscito a ricavarmi la $x$ e il $dx$ e di conseguenza il valore dell'integrale in modo definito.
Grazie a tutti. Grazie Feliciano, grazie adaBTTLS, grazie dissonance. Grazie a voi sono riuscito a capire tanto.
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