Qual è la definizione di infinito in matematica?
Buona sera a tutti, mi sto ponendo alcune domande relative all' infinito in campo matematico e vorrei condividere tali domande, senz' altro già note, con voi utenti del forum e appassionati, o comunque, probabilmente, sufficientemente preparati, su tale argomento di matematica.
Inizio con le domande:
Quali sono i quesiti, finora irrisolti sull' infinito in ambito matematico e geometrico?
Che definizione è stata data per tale "elemento", senz' altro astratto?
Gl infiniti possono essere suddivisi per ordine. E sappiamo che essi possono essere dello stesso ordine oppure no.
L' ordine è una misura della velocità di crescita dell' infinito? Un esempio pratico? (oltre a quello usuale del calcolo dei limiti)
L' infinito è uno solo? Che relazione di infinito c' è tra l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali? Il primo è di ordine inferiore? Cosa significa esattamente?
In quali campi pratici viene applicato il calcolo infinitesimale? Avreste degli esempi pratici, anche fisici, non scontati, ma comunque comprensibili dell' applicazione matematica del calcolo infinitesimale?
Ringrazio molto chi condividerà senza un' inutile(a parer mio) tirchieria la sua, relativamente piccola(si parla di infinito!) conoscenza, con me e gli altri utenti del forum.
Inizio con le domande:
Quali sono i quesiti, finora irrisolti sull' infinito in ambito matematico e geometrico?
Che definizione è stata data per tale "elemento", senz' altro astratto?
Gl infiniti possono essere suddivisi per ordine. E sappiamo che essi possono essere dello stesso ordine oppure no.
L' ordine è una misura della velocità di crescita dell' infinito? Un esempio pratico? (oltre a quello usuale del calcolo dei limiti)
L' infinito è uno solo? Che relazione di infinito c' è tra l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali? Il primo è di ordine inferiore? Cosa significa esattamente?
In quali campi pratici viene applicato il calcolo infinitesimale? Avreste degli esempi pratici, anche fisici, non scontati, ma comunque comprensibili dell' applicazione matematica del calcolo infinitesimale?
Ringrazio molto chi condividerà senza un' inutile(a parer mio) tirchieria la sua, relativamente piccola(si parla di infinito!) conoscenza, con me e gli altri utenti del forum.
Risposte
"curie88":
Che relazione di infinito c' è tra l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali? Il primo è di ordine inferiore? Cosa significa esattamente?
ciao Curie88
Il rpimo NON è di ordine inferiore ma dello stesso ordine.
Ti consiglio una lettura in rete su ciò che è la cardinalità di un insieme, cioè il numero di elementi presenti nell'insieme.
La cardinalità di (2,3,5,6) è 4, ci sono quattro elementi nell'insieme.
Gli insiemi con un numero infinito di elementi hanno una cardinalità.
Quella dei numeri naturali (1,2,3,4,....) si indica con la prima lettera dell'alfabeto arabo "aleph" con zero al pedice: $aleph_0$
Ora prendi ad esempio l'insieme che citavi tu, quello dei numeri pari... guarda che cosa ti combino
$2->1$
$4->2$
$6->3$
$8->4$
$10->5$
$12->6$
posso mettere OGNI numero pari in relazione con un numero naturale... ad ogni pari associo un naturale... ma allora i numeri pari e i numeri naturali hanno la stessa cardinalità $aleph_0$
Diverso invece è il discorso dell'insieme dei numeri REALI $RR$... è stato dimostrato avere cardinalità superiore
Finora nessun altro insieme numerico è stato dimostrato avere cardinalità superiore a $RR$
I discorsi all'acqua di rose che ti ho fatto finora li trovi in rete cercando qualcosa sul grande matematico russo dei primi del novecento Cantor che mise nero su bianco questi concetti andando contro molti scienziati che vedevano le sue idee come balzane e scrisse molti teoremi a riguardo
"curie88":
Quali sono i quesiti, finora irrisolti sull' infinito in ambito matematico e geometrico?
L'ipotesi del continuo, venne formulata da Cantor, il primo che si occupò seriamente di insiemi transfiniti come $ZZ$ e $RR$, questi insiemi contengono infiniti elementi, proprio per questo la loro cardinalità non è un numero finito ma un simbolo, o meglio un numero transfinito, infatti per gli interi abbiamo il simbolo ebraico $aleph_0$ che indica appunto la cardinalità di tutti gli insiemi numerabili ($NN$, $ZZ$, $QQ$ i più famosi), questo numero è il più piccolo tra i numeri transfiniti, mentre la cardinalità di $RR$ è $2^{aleph_0}$.
L'ipotesi del continuo afferma che non esiste alcun insieme avente cardinalità compresa fra quella degli insiemi numerabili e quella del continuo:
$not EE A\ |\ \aleph_0 < |A| <2^{\aleph_0}$
Questa congettura è stata parzialmente risolta dimostrando che è indecindibile (cioè non è ne falsa ne vera) partendo da un certo sistema assiomatico di teoria degli insiemi.
Volevi dire "indecidibile" (che peraltro è indicibile ... 
) ... mi è capitato comunque di leggere anche "indedicibile" ...
Cordialmente, Alex
) ... mi è capitato comunque di leggere anche "indedicibile" ...Cordialmente, Alex
Si indecidibile
"mazzarri":
Il primo NON è di ordine inferiore ma dello stesso ordine.
posso mettere OGNI numero pari in relazione con un numero naturale... ad ogni pari associo un naturale... ma allora i numeri pari e i numeri naturali hanno la stessa cardinalità $aleph_0$
la cardinalità vale allo stesso modo sia per gli insiemi finiti che per quelli infiniti...complesso questo tema!
@ curie88: Le "nozioni di infinito" sono tante e tutte diverse tra loro e tu stai facendo un casino enorme tra esse... Quale nozione ti interessa maggiormente?
Quella "algebrica", legata alla cardinalità degli insiemi?
Quella "analitica", legata ai concetti del Calcolo Infinitesimale?
Quella "topologica", legata alla compattificazione di spazi?
Quella "geometrica", legata alla Geometria Proiettiva?
Quella "algebrica", legata alla cardinalità degli insiemi?
Quella "analitica", legata ai concetti del Calcolo Infinitesimale?
Quella "topologica", legata alla compattificazione di spazi?
Quella "geometrica", legata alla Geometria Proiettiva?
Grazie a tutti per le risposte.
@gugo82, si in effetti è cosi.
A dire il vero, ora che me le hai elencate, mi interessano tutte, solo che chiaramente, posso tentare di capirle solo una alla volta.
Quella più intuitiva è la prima, ovverosia quella algebrica? O quella geometrica?
Spontaneamente preferisco partire dal concetto generale per arrivare ai particolari, è possibile procedere in questo modo con questo argomento?
Algebricamente l' infinito può essere definito un grandissimo numero? e generalmente?
Potresti aiutarmi nello studio, per cortesia, indicandomi, se esistono, alcuni concetti elementari comuni(anche abbandonando, se necessario, la matematica) ai 4 tipi di definizioni che gentilmente mi hai elencato? in ogni caso grazie ancora...
@gugo82, si in effetti è cosi.
A dire il vero, ora che me le hai elencate, mi interessano tutte, solo che chiaramente, posso tentare di capirle solo una alla volta.
Quella più intuitiva è la prima, ovverosia quella algebrica? O quella geometrica?
Spontaneamente preferisco partire dal concetto generale per arrivare ai particolari, è possibile procedere in questo modo con questo argomento?
Algebricamente l' infinito può essere definito un grandissimo numero? e generalmente?
Potresti aiutarmi nello studio, per cortesia, indicandomi, se esistono, alcuni concetti elementari comuni(anche abbandonando, se necessario, la matematica) ai 4 tipi di definizioni che gentilmente mi hai elencato? in ogni caso grazie ancora...
"curie88":
A dire il vero, ora che me le hai elencate, mi interessano tutte, solo che chiaramente, posso tentare di capirle solo una alla volta.
Ovvio.
"curie88":
Quella più intuitiva è la prima, ovverosia quella algebrica? O quella geometrica?
Non credo... Penso che quella più "banale" sia quella analitica, dato che è pura stenografia.
"curie88":
Spontaneamente preferisco partire dal concetto generale per arrivare ai particolari, è possibile procedere in questo modo con questo argomento?
Te l'ho detto, ci sono tanti usi del termine, ognuno con legami (labili, a volte) con gli altri; ma non c'è qualcosa che assomigli ad un "concetto generale"...
"curie88":
Algebricamente l' infinito può essere definito un grandissimo numero? e generalmente?
No.
"curie88":
Potresti aiutarmi nello studio, per cortesia, indicandomi, se esistono, alcuni concetti elementari comuni(anche abbandonando, se necessario, la matematica) ai 4 tipi di definizioni che gentilmente mi hai elencato? in ogni caso grazie ancora...
Potremmo discuterne amabilmente qui.
Ora di testi sull'argomento specifico non me me vengono in mente.
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