Quadratura cerchi
ciao vorrei sapere come risolvere questo problema
Risposte
Tutta 
Cosa vuoi fare di preciso e cosa puoi fare con i cerchi? Perché detta così la puoi ricoprire tutta ...
Cosa vuoi fare di preciso e cosa puoi fare con i cerchi? Perché detta così la puoi ricoprire tutta ...
guardando la figura penso che intenda con 3 cerchi tra loro tangenti
SI scusate... con 3 cerchi tangenti !! 
"fede16":
... qual è la massima superficie ricopribile ...
Dovrebbe essere più o meno $6,8\ mm^2$ ...
La configurazione dovrebbe essere questa:
Cordialmente, Alex
Ciao alex!! grazie per la risposta !!
Ti volevo chiedere: hai usato un programma per calcolarlo o hai fatto dei conti particolari?
Ti volevo chiedere: hai usato un programma per calcolarlo o hai fatto dei conti particolari?
"fede16":
Ti volevo chiedere: hai usato un programma per calcolarlo ...
La testa
Appena ho tempo e se riesco a rimettere insieme i "cocci" dei miei ragionamenti posto come ho fatto ...
Cordialmente, Alex
axpgn!!
Potresti gentilmente dirmi che calcolo hai fatto per ottenere il risultato?
Scusa ma sono veramente curioso
Potresti gentilmente dirmi che calcolo hai fatto per ottenere il risultato?
Scusa ma sono veramente curioso
Siccome non trovo più niente ( ) per ora ti posto il ragionamento che ho seguito (così puoi rifarti i conti da solo )
Il grafico che ho postato è la configurazione finale ma io son partito da un'altra, nella quale i tre cerchi sono e rimangono nella stessa posizione (cioè con due cerchi "appoggiati" sull'asse delle $x$ e quello sinistro "appoggiato" all'asse delle $y$) mentre il quadrato "parte" appoggiato ai due assi cartesiani con un vertice nell'origine.
In questa posizione iniziale i cerchi coprono una certa porzione dei quadrati, area che possiamo chiamare $S_1$ (che si può calcolare ma non ho fatto ...).
Il mio ragionamento è stato questo: se io faccio "scivolare" il quadrato verso destra una parte del cerchio di sinistra "va fuori" dal quadrato e quindi è un'area di copertura che "perdo", contemporaneamente però una parte del cerchio di destra "entra" nel quadrato e quindi è un'area di copertura che guadagno"; la differenza tra le due è il guadagno (o la perdita) di copertura che ho rispetto alla superficie iniziale $S_1$.
Dato che le due aree (quella che perdo a sx e quella che guadagno a dx) si possono definire in funzione di $x$ ecco che il mio "guadagno" (o "perdita") è una funzione dello spostamento orizzontale cioè di $x$ e quindi è sufficiente trovare il massimo di questa funzione per trovare il punto ottimale (cosa che mi son ben guardato di fare ... ... preferendo usare Excel per fare una simulazione e trovare il risultato ad occhio ... 
)
A memoria la formula per l'area di sx dovrebbe essere $Sx(x)=arccos(1-x)-(1-x)sqrt(2x-x^2)$ e quella di destra invece $Dx(x)=pi/2-(arccos(x)-xsqrt(1-x^2))$. Queste sono formule che mi sono ricavato io perché non sapevo neanche come si chiamassero quelle aree (una dovrebbe essere un segmento circolare e l'altra il suo complemento rispetto al semicerchio). Non sono formule di uso generale perché ho sfruttato il fatto che sono cerchi unitari, altrimenti si deve inserire anche il raggio nelle formule.
Per lo spostamento verticale ho fatto lo stesso ragionamento ma la cosa è più complicata ...
Andrebbero però fatte alcune precisazioni (oltre ad alcuni dubbi che ho ...), ma adesso non ho tempo ...
Il risultato numerico comunque è corretto, approssimato ma corretto (perché non l'ho calcolato ma stimato sulla figura).
Cordialmente, Alex
) per ora ti posto il ragionamento che ho seguito (così puoi rifarti i conti da solo )Il grafico che ho postato è la configurazione finale ma io son partito da un'altra, nella quale i tre cerchi sono e rimangono nella stessa posizione (cioè con due cerchi "appoggiati" sull'asse delle $x$ e quello sinistro "appoggiato" all'asse delle $y$) mentre il quadrato "parte" appoggiato ai due assi cartesiani con un vertice nell'origine.
In questa posizione iniziale i cerchi coprono una certa porzione dei quadrati, area che possiamo chiamare $S_1$ (che si può calcolare ma non ho fatto ...).
Il mio ragionamento è stato questo: se io faccio "scivolare" il quadrato verso destra una parte del cerchio di sinistra "va fuori" dal quadrato e quindi è un'area di copertura che "perdo", contemporaneamente però una parte del cerchio di destra "entra" nel quadrato e quindi è un'area di copertura che guadagno"; la differenza tra le due è il guadagno (o la perdita) di copertura che ho rispetto alla superficie iniziale $S_1$.
Dato che le due aree (quella che perdo a sx e quella che guadagno a dx) si possono definire in funzione di $x$ ecco che il mio "guadagno" (o "perdita") è una funzione dello spostamento orizzontale cioè di $x$ e quindi è sufficiente trovare il massimo di questa funzione per trovare il punto ottimale (cosa che mi son ben guardato di fare ...
... preferendo usare Excel per fare una simulazione e trovare il risultato ad occhio ... )A memoria la formula per l'area di sx dovrebbe essere $Sx(x)=arccos(1-x)-(1-x)sqrt(2x-x^2)$ e quella di destra invece $Dx(x)=pi/2-(arccos(x)-xsqrt(1-x^2))$. Queste sono formule che mi sono ricavato io perché non sapevo neanche come si chiamassero quelle aree (una dovrebbe essere un segmento circolare e l'altra il suo complemento rispetto al semicerchio). Non sono formule di uso generale perché ho sfruttato il fatto che sono cerchi unitari, altrimenti si deve inserire anche il raggio nelle formule.
Per lo spostamento verticale ho fatto lo stesso ragionamento ma la cosa è più complicata ...
Andrebbero però fatte alcune precisazioni (oltre ad alcuni dubbi che ho ...), ma adesso non ho tempo ...
Il risultato numerico comunque è corretto, approssimato ma corretto (perché non l'ho calcolato ma stimato sulla figura
).Cordialmente, Alex
Aggiornamento
Ho rivisto il tutto alla luce dei dubbi che avevo, non tanto sulle formule che ho trovato e neppure sull'idea di partenza ma sul fatto che effettivamente con tale procedura si arrivi a trovare la massima copertura.
Perciò ho cambiato sistema passando di fatto ad un metodo "numerico" usando però solo Excel.
In sintesi ho "disegnato" i tre cerchi in Excel utilizzando solo "zero" e "uno" quindi ho fatto la somma di tutto ciò che era contenuto "nell'area" di un "quadrato" delle "dimensioni" corrispondenti a quello richiesto, spostandolo "virtualmente" da un estremo all'altro con un passo di $2$ centesimi.
In questo modo ho trovato sia la posizione di massimo che il valore dell'area coperta.
Tutto questo però non era sufficiente ... ... perché questo massimo vale per il caso in cui il lato del quadrato è parallelo alla congiungente di due centri dei cerchi, ma chi mi garantisce che ruotando il quadrato non esista un valore maggiore? Questo era il dubbio principale e con questo metodo l'ho risolto.
Per la verità ho ruotato i cerchi (perché, strano ma vero, era più facile che ruotare i quadrati) e il massimo lo trovi con i cerchi ruotati di 15° e con la posizione del vertice basso a sinistra del quadrato che ha come coordinate $x=0.54$ e $y=0.56$.
L'area massima coperta è pari a $7.37\ mm^2$ (usando un passo di $2$ centesimi di mm).
Per curiosità allego alcune immagini:
[size=150]Zoom 10%[/size]
[size=150]Zoom 25%[/size]
[size=150]Zoom 100%[/size]
e la situazione finale è la seguente:
Cordialmente, Alex
Ho rivisto il tutto alla luce dei dubbi che avevo, non tanto sulle formule che ho trovato e neppure sull'idea di partenza ma sul fatto che effettivamente con tale procedura si arrivi a trovare la massima copertura.
Perciò ho cambiato sistema passando di fatto ad un metodo "numerico" usando però solo Excel.
In sintesi ho "disegnato" i tre cerchi in Excel utilizzando solo "zero" e "uno" quindi ho fatto la somma di tutto ciò che era contenuto "nell'area" di un "quadrato" delle "dimensioni" corrispondenti a quello richiesto, spostandolo "virtualmente" da un estremo all'altro con un passo di $2$ centesimi.
In questo modo ho trovato sia la posizione di massimo che il valore dell'area coperta.
Tutto questo però non era sufficiente ...
... perché questo massimo vale per il caso in cui il lato del quadrato è parallelo alla congiungente di due centri dei cerchi, ma chi mi garantisce che ruotando il quadrato non esista un valore maggiore? Questo era il dubbio principale e con questo metodo l'ho risolto.Per la verità ho ruotato i cerchi (perché, strano ma vero, era più facile che ruotare i quadrati) e il massimo lo trovi con i cerchi ruotati di 15° e con la posizione del vertice basso a sinistra del quadrato che ha come coordinate $x=0.54$ e $y=0.56$.
L'area massima coperta è pari a $7.37\ mm^2$ (usando un passo di $2$ centesimi di mm).
Per curiosità allego alcune immagini:
[size=150]Zoom 10%[/size]
[size=150]Zoom 25%[/size]
[size=150]Zoom 100%[/size]
e la situazione finale è la seguente:
Cordialmente, Alex
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