Quadrato dello sviluppo di Taylor
ciao ragazzi
sono alla prese con gli sviluppi di Taylor e mi trovo davanti al seguente dilemma:
$f(x)=sen^2(x)$
$(n=6 ; x_0=0)$
che sviluppo in:
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^5))^2$
come posso fare il quadrato di tale polinomio, io ho pensato prima di fare il quadrato del trinomio (ignorando l'"o piccolo"), ma evidentemente non è la soluzione giusta.
Fare il quadrato del quadrinomio mi lascia molto perplesso e inoltre non saprei bene come trattare l'"o piccolo" al quadrato;
insomma non so come comportarmi.............
grazie mille a chiunque mi sappia suggerire qualcosa
sono alla prese con gli sviluppi di Taylor e mi trovo davanti al seguente dilemma:
$f(x)=sen^2(x)$
$(n=6 ; x_0=0)$
che sviluppo in:
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^5))^2$
come posso fare il quadrato di tale polinomio, io ho pensato prima di fare il quadrato del trinomio (ignorando l'"o piccolo"), ma evidentemente non è la soluzione giusta.
Fare il quadrato del quadrinomio mi lascia molto perplesso e inoltre non saprei bene come trattare l'"o piccolo" al quadrato;
insomma non so come comportarmi.............
grazie mille a chiunque mi sappia suggerire qualcosa
Risposte
fino a che ordine devi arrivare? io farei con le derivate di sin^2(x)..
ordine 6..........
cosa intendi per fare con le derivate?
cosa intendi per fare con le derivate?
sfruttando la definizione del polinomio di taylor: $ f(x) = f(x_0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k $ per $ x \to x_0 $
nel tuo caso $ f(x) = \sin^2(x) $
nel tuo caso $ f(x) = \sin^2(x) $
Questo è il quadrato:
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^6))^2= x^2 + (1/36)x^6+(1/(120^2))x^10+o(x^6)^2 -(1/3)x^4+(1/60)x^6+2*x*o(x^6) -(1/360)x^8 -(1/3)x^3 *o(x^6)+(1/60)x^5*o(x^6)$
$= x^2 -(1/3)x^4+ (2/45)x^6-(1/360)x^8+(1/(120^2))x^10+o(x^6)^2 +2*x*o(x^6) -(1/3)x^3 *o(x^6)+(1/60)x^5*o(x^6)$
PS
Ma ovviamente non è la stessa cosa che fare lo sviluppo di taylor del seno quadrato, il quadrato va bene fino alla potenza di $x$ con esponente $6$, di fatti il resto è un infinitesimo di ordine pari a $7$
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^6))^2= x^2 + (1/36)x^6+(1/(120^2))x^10+o(x^6)^2 -(1/3)x^4+(1/60)x^6+2*x*o(x^6) -(1/360)x^8 -(1/3)x^3 *o(x^6)+(1/60)x^5*o(x^6)$
$= x^2 -(1/3)x^4+ (2/45)x^6-(1/360)x^8+(1/(120^2))x^10+o(x^6)^2 +2*x*o(x^6) -(1/3)x^3 *o(x^6)+(1/60)x^5*o(x^6)$
PS
Ma ovviamente non è la stessa cosa che fare lo sviluppo di taylor del seno quadrato, il quadrato va bene fino alla potenza di $x$ con esponente $6$, di fatti il resto è un infinitesimo di ordine pari a $7$
"regim":
PS
Ma ovviamente non è la stessa cosa che fare lo sviluppo di taylor del seno quadrato.
a me non pare ovvio, anzi: sono convinto del contrario
edit: comunque in questo caso eri agevolato a fare le derivate di sen^2(x), perchè potevi sfruttare le formule di duplicazione
"enr87":
[quote="regim"]
PS
Ma ovviamente non è la stessa cosa che fare lo sviluppo di taylor del seno quadrato.
a me non pare ovvio, anzi: sono convinto del contrario
edit: comunque in questo caso eri agevolato a fare le derivate di sen^2(x), perchè potevi sfruttare le formule di duplicazione[/quote]
Va bene fino all'ordine $6$ già all'ottavo devia dello sviluppo di taylor controlla.
questo è ovvio: trascuri il fatto che ci sono svariati o(x^6), e x^8 rientra tra quelli. per farti un esempio, chi ti dice che 2x*o(x^6) non possa essere 2*x^8? se avessi voluto una maggiore precisione avresti dovuto aggiungere altri termini nello sviluppo del seno.
tra l'altro se la tua osservazione fosse corretta si andrebbe contro l'unicità dle polinomio di taylor
tra l'altro se la tua osservazione fosse corretta si andrebbe contro l'unicità dle polinomio di taylor
$2x*o(x^6)$ questo è un infinitesimo di ordine $7$, perchè il resto delle sviluppo di taylor arrestato all'ordine $5$ delle derivate è, proprio per l'unicità da te osservata, un infinitesimo di ordine $6$, e se lo moltiplichi per $x$ diventa di ordine $7$.
assolutamente no: o(x^6) non significa x^7
guarda la definizione di o-piccolo
edit: scusa avevo letto male: 2x*o(x^6) non ha ordine 7, ma MAGGIORE all'ordine 7 (resta valida la seconda affermazione che ho fatto)
guarda la definizione di o-piccolo
edit: scusa avevo letto male: 2x*o(x^6) non ha ordine 7, ma MAGGIORE all'ordine 7 (resta valida la seconda affermazione che ho fatto)
Ma io non ho mica detto che è $x^7$, ma che è un infinitesimo di ordine $7$, dove ho scritto $x^7$? 
Enry scusa ma il teorema di taylor ti dimostra che il resto, poi lo esprimi come vuoi, ma che l'ordine di infinitesimo è $6$, chiamalo o'piccolo chiamalo come vuoi, l'ordine di infintesimo è quello $6$, se moltiplichi un infinitesimo di ordine $6$ per $x$, ottieni un infinitesimo di ordine superiore e cioè $7$.
Mi pare che stai facendo un po' confusione.
Il fatto che lo sviluppo di taylor del quadrato del seno non coincida con il quadrato del suo sviluppo arrestato all'ordine che vuoi, lo puoi constatare tu stesso facendo i conti, quindi non può esistere una dimostrazione del contrario. Non capisco le obiezioni!
Enry scusa ma il teorema di taylor ti dimostra che il resto, poi lo esprimi come vuoi, ma che l'ordine di infinitesimo è $6$, chiamalo o'piccolo chiamalo come vuoi, l'ordine di infintesimo è quello $6$, se moltiplichi un infinitesimo di ordine $6$ per $x$, ottieni un infinitesimo di ordine superiore e cioè $7$.
Mi pare che stai facendo un po' confusione.
Il fatto che lo sviluppo di taylor del quadrato del seno non coincida con il quadrato del suo sviluppo arrestato all'ordine che vuoi, lo puoi constatare tu stesso facendo i conti, quindi non può esistere una dimostrazione del contrario. Non capisco le obiezioni!
guarda che è praticamente la stessa cosa. infinitesimo di ordine n significa che ha grado n rispetto ad x. ora puoi aggiungerci tutti i coefficienti che vuoi davanti, ma è comunque sbagliato: 2x*o(x^6) potrebbe essere x^10, x^100, 23x^45.. non lo sai e basta, sai semplicemente che 2x*(x^6) = o(x^7), il che significa che posto g(x) = o(x^7), hai, al limite per x che tende a 0, g(x) / x^7 = 0. ma il limite è verificato per qualsiasi potenza di x maggiore di 7. capito?
edit: qui non è questione di terminologia, guarda che in qualunque modo tu lo faccia, il polnomio che ottieni è sempre del tipo $f(0) + \sum_{k} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^{k+1}) $. a questo punto il polinomio deve essere lo stesso, perchè è espresso nella stessa forma
edit: corretto formula sommatoria
edit: qui non è questione di terminologia, guarda che in qualunque modo tu lo faccia, il polnomio che ottieni è sempre del tipo $f(0) + \sum_{k} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + o(x^{k+1}) $. a questo punto il polinomio deve essere lo stesso, perchè è espresso nella stessa forma
edit: corretto formula sommatoria
Scusa sicchè quale sarebbe l'oridine d'infinitesimo del resto dello sviluppo di taylor arrestato al quint'ordine? A me risulta di ordine superiore a $5$, ecco superiore mi sono dimenticato ogni volta di scrivere.
E poi mi fai vedere la dimostrazione che il quadrato dello sviluppo di taylor del seno quadrato è ovviamente uguale allo sviluppo del seno quadrato, si era partiti da lì.
E poi mi fai vedere la dimostrazione che il quadrato dello sviluppo di taylor del seno quadrato è ovviamente uguale allo sviluppo del seno quadrato, si era partiti da lì.
certo, ti faccio vedere che coincidono (fino all'ordine 6, perchè poi hai tutti o-piccoli, come dicevo prima). riprendo da dove hai lasciato tu:
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^6))^2= x^2 + (1/36)x^6 - (1/3)x^4 + (1/60)x^6 + o(x^6) $
ora lascio a te verificare che coincide con il polinomio di mclaurin
se vuoi i termini successivi devi sviluppare ulteriormente il seno e poi farne il uadrato, ma è un lavoraccio
(invece tu dimostrami che è ovviamente diverso, io ho detto semplicemente di essere convinto del contrario)
$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^6))^2= x^2 + (1/36)x^6 - (1/3)x^4 + (1/60)x^6 + o(x^6) $
ora lascio a te verificare che coincide con il polinomio di mclaurin
se vuoi i termini successivi devi sviluppare ulteriormente il seno e poi farne il uadrato, ma è un lavoraccio
(invece tu dimostrami che è ovviamente diverso, io ho detto semplicemente di essere convinto del contrario)
C'è la potenza con esponente $8$ e il quadrato della potenza con esponente $5$, e io mi riferivo allo sviluppo sino a quell'ordine, l'equivoco è partito da qui.
Poi però ho fatto confusione e hai ragione quando dici che se esprimo il resto come infinitesimo di ordine superiore a $6$ ci dovevo mettere dentro anche $x^8$ e $x^10$, l'errore è tutto qui.
Poi però ho fatto confusione e hai ragione quando dici che se esprimo il resto come infinitesimo di ordine superiore a $6$ ci dovevo mettere dentro anche $x^8$ e $x^10$, l'errore è tutto qui.
e comunque eccoti la dimostrazione più generale:
[tex]\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}[/tex]
ora elevo al quadrato entrambi i membri:
[tex]\sin^2(x) = ( \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1} \, )^2[/tex]
niente di troppo complicato
tranquillo, basta capirsi
[tex]\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}[/tex]
ora elevo al quadrato entrambi i membri:
[tex]\sin^2(x) = ( \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1} \, )^2[/tex]
niente di troppo complicato
tranquillo, basta capirsi
Enr87 mi pare che tu stia piuttosto esagerando non credi? ti daremo un millenium prize, e rileggiti quanto ho scritto sopra, prima di regalarci quest'ultima perla di saggezza e di conoscenza. Grazie
"regim":
E poi mi fai vedere la dimostrazione che il quadrato dello sviluppo di taylor del seno quadrato è ovviamente uguale allo sviluppo del seno quadrato, si era partiti da lì.
guarda che ho solo risposto alla tua domanda. non c'è motivo di prendersela
"regim":
C'è la potenza con esponente $8$ e il quadrato della potenza con esponente $5$, e io mi riferivo allo sviluppo sino a quell'ordine, l'equivoco è partito da qui.
Poi però ho fatto confusione e hai ragione quando dici che se esprimo il resto come infinitesimo di ordine superiore a $6$ ci dovevo mettere dentro anche $x^8$ e $x^10$, l'errore è tutto qui.
Si ma io ti avevo risposto questo, sotto, e quella che hai scritto tu non c'entra nulla, se ti fai i conti, il quadrato dello sviluppo fino all'ordine 5, non coincide con lo sviluppo del seno quadrato fino all'ordine 10 anche se l'ottavo termine è dissimile di poco, questo intendevo, con ovviamente.
edit Enr87 non me la sono presa, ma..., mi sembra che anche quest'ultima tua frase sia un pochino provocatoria non ti sembra?
scusami se ti sono sembrato arrogante, ma non lo sono affatto. ho risposto con interesse alle domande, e certo non per umiliare qualcuno.
per quello che mi riguarda non riesco a seguire il tuo ragionamento, la questione importante è saper adoperare gli o-piccolo e tutti i conti tornano. nient'altro.
edit: quello che interpreti di quello che dico non mi interessa. vorrei capire come devo esprimermi (magari limitandomi a monosillabi..mah!)
e comunque levo le tende, che mi sono (un po') girate
per quello che mi riguarda non riesco a seguire il tuo ragionamento, la questione importante è saper adoperare gli o-piccolo e tutti i conti tornano. nient'altro.
edit: quello che interpreti di quello che dico non mi interessa. vorrei capire come devo esprimermi (magari limitandomi a monosillabi..mah!)
e comunque levo le tende, che mi sono (un po') girate
mi fa piacere che sia iniziata un'accesa discussione sul mio problema 
la soluzione di regim deve avere qualcosa che non va, perché l'eserciziario da cui ho preso tale esercizio da' un altro risultato.
Sinceramente non ho ancora capito la proposta di enr87............. non è che potresti mostrarmi come fare?
grazie tante ragazzi!!!!
la soluzione di regim deve avere qualcosa che non va, perché l'eserciziario da cui ho preso tale esercizio da' un altro risultato.
Sinceramente non ho ancora capito la proposta di enr87............. non è che potresti mostrarmi come fare?
grazie tante ragazzi!!!!
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