Quadrato dello sviluppo di Taylor

[duff2]

ciao ragazzi

sono alla prese con gli sviluppi di Taylor e mi trovo davanti al seguente dilemma:

$f(x)=sen^2(x)$

$(n=6 ; x_0=0)$

che sviluppo in:

$f(x)= (x-(1/6)x^3+(1/120)x^5+o(x^5))^2$

come posso fare il quadrato di tale polinomio, io ho pensato prima di fare il quadrato del trinomio (ignorando l'"o piccolo"), ma evidentemente non è la soluzione giusta.
Fare il quadrato del quadrinomio mi lascia molto perplesso e inoltre non saprei bene come trattare l'"o piccolo" al quadrato;

insomma non so come comportarmi.............

grazie mille a chiunque mi sappia suggerire qualcosa

[duff2]

..............osservando meglio il metodo di regim mi pare che forse ci sia solo qualche errore di calcolo, anche perché il metodo non sembra fare una piega..........

penso che possa andare bene il metodo di regim, però se qualcuno più esperto di me potrebbe buttare un'occhiata gli sarei molto grato.......

[duff2]

sì, confermo........

il metodo di regim va bene, solo che elevare al quadrato o al cubo dei trinomi o quadrinomi induce molto facilmente a commettere errori di calcolo.................

quindi consiglio di effettuare solo i calcoli (fra i monomi) solo quando il risultato non supera l'ordine a cui dobbiamo fermare lo sviluppo (risparmiando così tempo, energie ed evitando errori di calcolo)

[regim]

Ringrazione duff per la constatazione della correttezza del quadrato, ma voglio riassumere quanto sopra dibattuto:
Poniamo $f(x)$ funzione reale di variabile reale e derivabile fino all'ordine $2n$ in un intervallo contenente l'origine.

Sia $f(x) = P_n(x) + o(x^n)$ essendo $P_n(x)$ lo sviluppo di taylor di punto iniziale l'origine, questo è dimostrabile. Adesso, se faccio il quadrato ottengo:

$f(x)^2 = [P_n(x)]^2 + [o(x^n)]^2 + 2*P_n(x)*o(x^n)= T_m(x) + o(x^m)$ in guisa che $2*P_n(x)*o(x^n)= o(x^m)$ $n
Sia $Q_m(x)$ lo sviluppo di taylor di $f(x)^2$ per cui $f(x)^2 = Q_m(x) + o_1(x^m)$

Poichè $h(x)=(T_m(x) + o(x^m))-(Q_m(x) + o_1(x^m))=0$ quindi:

$lim_(x->0) (h(x))/(x^m) = 0$ ma se fosse per assurdo $T_m(x)$ diverso da $Q_m(x)$ si avrebbe:

$lim_(x->0) (h(x))/x^m = $ diverso da $0$, questa è una contraddizione.

Ciò non comporta che in $[P_n(x)]^2$ non possano esistere potenze di $x$ con esponente maggiore di $m<2n$, come questo esempio ci mostra, ma che non si può dimostrare che coincidano con lo sviluppo di taylor, e infatti proprio l'esempio qui proposto, smentisce che possa esistere una dimostrazione in tal senso.
Spero di non aver detto inesattezze, se ve ne fossero ogni correzione sarà gradita. Grazie