$QQ$ non è $G_delta$

ficus2002
Dimostrare che $QQ$ non è un $G_delta$ ovvero non è intersezione di alcuna infinità numerabile di aperti.

Risposte
Mistral2
"ficus2002":
Dimostrare che $QQ$ non è un $G_delta$ ovvero non è intersezione di alcuna infinità numerabile di aperti.


Se $QQ=bigcap_{i in NN}A_{i}$, allora $QQ^{c}=RR-QQ=(bigcap_{i in NN}A_{i})^{c}=bigcup_{i in NN}A_{i}^{c}=bigcup_{i in NN}(RR-A_{i})$. Tutti gli insiemi $A_{i}$ sono tra loro distinti tranne al più un numero finito di essi. Infatti $QQ$ non è aperto ed l'intersezione finita di aperti è un aperto.

Sia $k in NN$, siccome $A_{k}$ è un aperto di $RR$ deve esistere $x_{k} in QQ^{c} cap A_{k}$, un aperto $A_{h}$ che non contiene $x_{k}$ e un intorno sferico $B_{epsilon}(x_{k})$ disgiunto da $A_{h}$. $x_{k}$ è limite di una successione di razionali ${a_{n}: n in NN} subset A_{h}$ da cui l'assurdo dato che esiste $N in NN$ tale che per ogni $n>N$ risulta $a_{n} in B_{epsilon}(x_{k})$.

Azzarderei un QED


Saluti

Mistral

ficus2002
Ciao, ho capito tutto tranne una cosa.
"Mistral":

Tutti gli insiemi $A_{i}$ sono tra loro distinti tranne al più un numero finito di essi. Infatti $QQ$ non è aperto ed l'intersezione finita di aperti è un aperto.

Sono d'accordo. Aggiungo anche che ogni $A_i$ contiene $QQ$.
"Mistral":
Sia $k in NN$, siccome $A_{k}$ è un aperto di $RR$ deve esistere $x_{k} in QQ^{c} cap A_{k}$,

giusto, perchè $QQ$ non è aperto e poichè $A_{k}\supseteq QQ$, è $A_{k}\supset QQ$
"Mistral":
esiste un aperto $A_{h}$ che non contiene $x_{k}$

ok, perchè l'intersezione degli $A_i$ è $QQ$ il quale non contiene $x_k$.
"Mistral":
$x_{k}$ è limite di una successione di razionali ${a_{n}: n in NN} subset A_{h}$.

Ok, perchè $A_{h}\supset QQ\supseteq {a_{n}: n in NN}$.
Fino a qui ci sono. Però non riesco a capire:
"Mistral":
esiste un intorno sferico $B_{epsilon}(x_{k})$ disgiunto da $A_{h}$.

Mistral2
"ficus2002":
Ciao, la prima parte l'ho capita, ma la seconda no...
Fino a qui ci sono. Però non riesco a capire queste due cose:
[quote="Mistral"]esiste un intorno sferico $B_{epsilon}(x_{k})$ disgiunto da $A_{h}$.
${a_{n}: n in NN} subset A_{h}$
[/quote]

In effetti mi ero sbagliato ho fatto una affermazione arbitraria. Mi sono documentato on-line e la dimostrazione è più sottile, eccola di seguito. Si tratta di una applicazione del Teorema di Baire, la cui dimostrazione di trova facilmente on-line.

Teorema di Baire
Sia $X$ uno spazio metrico completo ed ${A_{i}: i in NN}$ una successione di insiemi aperti densi, allora $bigcap_{i in NN}A_{i}$ è denso.

Se $QQ=bigcap_{i in NN}A_{i}$ con $A_{i}$ aperto di $RR$, allora in particolare $QQ subset A_{i}$ cioè $A_{i}$ è denso ovvero la sua chiusura $Cl(A_{i})=RR$. Segue che $RR-Cl(A_{i})=Int(RR-A_{i})=emptyset$ cioè il suo complemento ha interno vuoto. Segue che $RR-QQ=bigcup _{i in NN}(RR-A_{i})$ ha parte interna vuota come conseguenza del Teorema di Baire essendo unione di insiemi chiusi con parte interna vuota.

Ricordiamo ora che $QQ$ è numerabile cioè $QQ={x_{i}:i in NN}$ consideriamo $QQ=bigcup_{i in NN } {x_{i}}$ l'unione numerabile di insiemi chiusi di interno vuoto. Risulta che $RR-QQ=bigcap_{iin NN} RR- {x_{i}}$ quindi $RR-QQ$ è tra l'altro per il Teorema di Baire denso.


Risulta allora che $RR-bigcup_{i in NN } {x_{i}}=bigcup _{i in NN}(RR-A_{i})$ da cui

$RR=(bigcup_{i in NN } {x_{i}}) cup (bigcup _{i in NN}(RR-A_{i}))=bigcup _{i in NN}{x_{i}}cup(RR-A_{i})$

da cui l'assurdo che $RR$ ha l'interno vuoto.

Decisamente più complicata se non ho fatto altri errori.

Saluti

Mistral

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