$QQ$

[Kroldar]

Come è noto, $QQ$ è un sottoinsieme di $RR$. Se consideriamo in $RR$ la topologia euclidea, il sottoinsieme $QQ$ è un chiuso, un aperto o nessuno dei due? Non credo sia aperto, poiché non contiene intorni. Allo stesso modo, il suo complementare non contiene intorni. Qualcuno mi può dunque confermare che $QQ$ non è né aperto né chiuso?

[Gaal Dornick]

Beh, è il classico cane che si morde la coda. Dipende dalla definizone che dai di $QQ$ e di $RR$.

Supponiamo che dai la definizone assiomatica di $RR$,e quindi quella di $QQ$. Si prova che $QQ$ è denso in $RR$, ossia che la chiusura di $QQ$ è $RR$. (immagino tu conosca la definizone di chiusura..sennò te la richiamo: la chiusura di un insieme in uno spazio topologico è il più piccolo chiuso che contiene l'insieme)

Se definisci $RR$ come il completamento di $QQ$, ovviamente $RR$ è la chiusura di $QQ$, proprio perchè è il suo completamento. A questo punto dovrei dare la definizione di completamento (di spazi metrici).
eccola qua http://it.wikipedia.org/wiki/Completame ... io_metrico
come dice nel link, si richiede che $X$ (nel nostro caso $X=QQ$) sia denso nel completamento.

P.S.: sto leggendo un libro che si chiama Q! quando ho visto il tuo topic non ho potuto resistere..

[Rinhos]

"Kroldar":Come è noto, $QQ$ è un sottoinsieme di $RR$. Se consideriamo in $RR$ la topologia euclidea, il sottoinsieme $QQ$ è un chiuso, un aperto o nessuno dei due? Non credo sia aperto, poiché non contiene intorni. Allo stesso modo, il suo complementare non contiene intorni. Qualcuno mi può dunque confermare che $QQ$ non è né aperto né chiuso?

effettivamente $QQ$ non può essere unione di palle aperte poiché $AA x,y , x
quindi un qualsiasi intervallo aperto con due razionali come estremi comprende un numero reale irrazionale, e credo che lo stesso discorso si possa fare sul complementare. Io ti darei ragione, ma non sono sicuro, aspetto commenti più solidi

[Fioravante Patrone1]

Confermo: $QQ$ come sottoinsieme di $RR$ (mettendo su $RR$ la solita topologia euclidea) non è né chiuso né aperto.

Lo è in modo piuttosto "radicale", visto che la chiusura di $QQ$ in $RR$ è tutto $RR$, mentre l'interno di $QQ$ in $RR$ è vuoto. Insomma, la frontiera di $QQ$ in $RR$ è tutto $RR$...