Q non basta !!
Buonasera amici sono bloccato con la seguente dimostrazione, dove ci sono delle disuguaglianze che non capisco 
.
L'esempio che riporto vuol mostrare la non esistenza ne del massimo e ne del minimo in \(\displaystyle \mathbb{Q} \).
Sia \(\displaystyle f: x \in [-2,2] \cap \mathbb{Q} \rightarrow -2x+ \tfrac{x^3}{3} \)
Riporta la dimostrazione come nel testo, ma metto tra virgoletta la mia ipotesi, cosi se ci sono degli errori me li segnalate
.
Se risulta confusionaria ditemelo, pubblico un nuovo argomento. Grazie
Assumiamo \(\displaystyle 0
si ha \(\displaystyle f(x)-f(y) = (1/3)(x-y)(-6+x^2+xy+y^2) \) " fa la differenza per capire l'andamento di f, ma non esiste in \(\displaystyle \mathbb{Q} \) un elemento \(\displaystyle x \) tale che sia il minimo.
Se \(\displaystyle y^2<2, x^2<2 \) " impone questa relazione, visto che il valore massimo di \(\displaystyle f \) è 2, quindi rientra in tale intervallo "
si ha \(\displaystyle 2xy \le x^2+y^2<4 \) " il termine\(\displaystyle 2xy \) da dove esce ?? "
per cui \(\displaystyle f(x)>f(y) \).
Continua con \(\displaystyle x^2 > 2, y^2>2 \), ma non la riporto perché vorrei capire prime le mie lacune, studiarle e per poi applicarle sulla seconda parte.
Grazie in anticipo.
. L'esempio che riporto vuol mostrare la non esistenza ne del massimo e ne del minimo in \(\displaystyle \mathbb{Q} \).
Sia \(\displaystyle f: x \in [-2,2] \cap \mathbb{Q} \rightarrow -2x+ \tfrac{x^3}{3} \)
Riporta la dimostrazione come nel testo, ma metto tra virgoletta la mia ipotesi, cosi se ci sono degli errori me li segnalate
.Se risulta confusionaria ditemelo, pubblico un nuovo argomento. Grazie
Assumiamo \(\displaystyle 0
si ha \(\displaystyle f(x)-f(y) = (1/3)(x-y)(-6+x^2+xy+y^2) \) " fa la differenza per capire l'andamento di f, ma non esiste in \(\displaystyle \mathbb{Q} \) un elemento \(\displaystyle x \) tale che sia il minimo.
Se \(\displaystyle y^2<2, x^2<2 \) " impone questa relazione, visto che il valore massimo di \(\displaystyle f \) è 2, quindi rientra in tale intervallo "
si ha \(\displaystyle 2xy \le x^2+y^2<4 \) " il termine\(\displaystyle 2xy \) da dove esce ?? "
per cui \(\displaystyle f(x)>f(y) \).
Continua con \(\displaystyle x^2 > 2, y^2>2 \), ma non la riporto perché vorrei capire prime le mie lacune, studiarle e per poi applicarle sulla seconda parte.
Grazie in anticipo.
Risposte
Vabbé, mi pare che abbia semplicemente fatto un magheggio per dimostrare che \(f\) è decrescente. Queste cose si fanno in un momento usando le derivate, ma l'autore non le ha ancora introdotte, e quindi gli tocca fare un po' di salti mortali.
Tutto molto istruttivo: per esempio, la disuguaglianza \(2xy\le x^2+y^2\) è un trucco utilissimo. Si dimostra sviluppando \((x-y)^2\ge 0\). Ma non è quella la sostanza della dimostrazione. Assumi il fatto che \(f\) è decrescente e vai avanti. Dopo ritornerai sui tuoi passi e ti sforzerai di capire questa parte della dimostrazione.
Tutto molto istruttivo: per esempio, la disuguaglianza \(2xy\le x^2+y^2\) è un trucco utilissimo. Si dimostra sviluppando \((x-y)^2\ge 0\). Ma non è quella la sostanza della dimostrazione. Assumi il fatto che \(f\) è decrescente e vai avanti. Dopo ritornerai sui tuoi passi e ti sforzerai di capire questa parte della dimostrazione.
Grazie,
avevo pensato anch'io questa disuguaglianza \(\displaystyle (x-y)^2 \ge 0 \) , inoltre avevo pensato anche che potesse venire fuori da questa :
\(\displaystyle xy< x^2 , xy< y^2 \), ma la prima deve essere falsa per via della condizione data : \(\displaystyle 0
Comunque alla fine le mie supposizioni sono giuste, quelle che ho messe tra virgolette ?
avevo pensato anch'io questa disuguaglianza \(\displaystyle (x-y)^2 \ge 0 \) , inoltre avevo pensato anche che potesse venire fuori da questa :
\(\displaystyle xy< x^2 , xy< y^2 \), ma la prima deve essere falsa per via della condizione data : \(\displaystyle 0
Comunque alla fine le mie supposizioni sono giuste, quelle che ho messe tra virgolette ?
Su $RR$ il massimo dovrebbe essere in $x=-sqrt(2)$ ottenendo $y_m=(4sqrt2)/3$
Ovviamente $forallx in[-2,2]$ si ha $f(x)leqy_m$ vedi se riesci a dimostrare che in$QQcap[-2,2]$ non lo assume mai.
Ovviamente $forallx in[-2,2]$ si ha $f(x)leqy_m$ vedi se riesci a dimostrare che in$QQcap[-2,2]$ non lo assume mai.
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