Punto stazionario(critico) funzione
Data la seguente funzione
$f(x,y) = x^3+ xy^2 - x - y^2$
mi si chiede di trovare i punti stazionari (o critici) .
Domande:
1) il punto stazionario è un punto (secondo la regola di Fermat) avente derivata = 0. Corretto?
2) punto critico o stazionario sono sinonimi , giusto? Cioè indicano la stessa cosa..mi sbaglio?
3) come dovrei affrontare la risoluzione dell'esercizio (intendo alcuni suggerimenti sui passi da seguire)
Grazie a coloro che mi aiuteranno a comprendere.
Fausto
$f(x,y) = x^3+ xy^2 - x - y^2$
mi si chiede di trovare i punti stazionari (o critici) .
Domande:
1) il punto stazionario è un punto (secondo la regola di Fermat) avente derivata = 0. Corretto?
2) punto critico o stazionario sono sinonimi , giusto? Cioè indicano la stessa cosa..mi sbaglio?
3) come dovrei affrontare la risoluzione dell'esercizio (intendo alcuni suggerimenti sui passi da seguire)
Grazie a coloro che mi aiuteranno a comprendere.
Fausto
Risposte
1) Si, nel caso unidimensionale. Nel caso tuo caso si parla $\nabla f=0$ (inteso come gradiente).
2) Si sono la stessa cosa. Se vuoi approfondire http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_critico_%28matematica%29
3) Applicare la condizione necessaria e sufficiente affinchè le componenti del vettore gradiente si annulli e poi studiare l'Hessiano.
2) Si sono la stessa cosa. Se vuoi approfondire http://it.wikipedia.org/wiki/Punto_critico_%28matematica%29
3) Applicare la condizione necessaria e sufficiente affinchè le componenti del vettore gradiente si annulli e poi studiare l'Hessiano.
1) Sì, solo che visto che sei in più varibili al posto di "derivata" devi dire "gradiente".
2) Sì.
3) Trovi le derivate parziali e le uguagli a zero. I punti critici sono quelli in cui si annullano contemporaneamente tutte le derivate parziali prime.
2) Sì.
3) Trovi le derivate parziali e le uguagli a zero. I punti critici sono quelli in cui si annullano contemporaneamente tutte le derivate parziali prime.
Vi ringrazio moltissimo.
2 secondi delle vostre spiegazioni equivalgono a ore di studio e comprensione per me.
E' da poco che frequento questo forum e debbo dire che è fantastico.
Debbo un sincero grazie a tutti coloro che sinora ho incontrato (virtualmente) e mi hanno aiutato
Provo a risolvere e poi riposto il quesito.
Di nuovo grazie
2 secondi delle vostre spiegazioni equivalgono a ore di studio e comprensione per me.
E' da poco che frequento questo forum e debbo dire che è fantastico.
Debbo un sincero grazie a tutti coloro che sinora ho incontrato (virtualmente) e mi hanno aiutato
Provo a risolvere e poi riposto il quesito.
Di nuovo grazie
Prego.
Comunque queste sono cose che trovi scritte su tutti i libri di Analisi II; basta aprirli.
Comunque queste sono cose che trovi scritte su tutti i libri di Analisi II; basta aprirli.
Concordo che sui libri trovi le spiegazioni.
Ma ritengo che l'essenza dell'informazione ,ai fini pratici ed in circostanze dove il tempo stringe molto, sia quella
priva di "contorno".
A parte cio'.
Dato la funzione $f(x,y) = x^3+ xy^2 - x - y^2$ ho ricavato le derivate parziali.
Cioè:
$3x^2+y^2-1$ (rispetto ad x considerando i termini in y come costanti)
$2xy-2y$ (rispetto ad y considerando i termini in x come costanti)
Ora dovrei uguagliare le derivate parziali trovate a zero ottenendo cosi un
sistema di equazioni a 2 variabili. Giusto?
Provando a risolvere incontro un problema:
$y^2= -2$
Sbaglio oppure sono sulla buona strada?
Non capisco poi quando suggerisci:
<<3) Trovi le derivate parziali e le uguagli a zero. I punti critici sono quelli in cui si annullano contemporaneamente tutte le derivate parziali prime.>>
Cio' che ho fatto finora sarebbe corretto?
Grazie
Ma ritengo che l'essenza dell'informazione ,ai fini pratici ed in circostanze dove il tempo stringe molto, sia quella
priva di "contorno".
A parte cio'.
Dato la funzione $f(x,y) = x^3+ xy^2 - x - y^2$ ho ricavato le derivate parziali.
Cioè:
$3x^2+y^2-1$ (rispetto ad x considerando i termini in y come costanti)
$2xy-2y$ (rispetto ad y considerando i termini in x come costanti)
Ora dovrei uguagliare le derivate parziali trovate a zero ottenendo cosi un
sistema di equazioni a 2 variabili. Giusto?
Provando a risolvere incontro un problema:
$y^2= -2$
Sbaglio oppure sono sulla buona strada?
Non capisco poi quando suggerisci:
<<3) Trovi le derivate parziali e le uguagli a zero. I punti critici sono quelli in cui si annullano contemporaneamente tutte le derivate parziali prime.>>
Cio' che ho fatto finora sarebbe corretto?
Grazie
Sì, è corretto in linea di principio; però non ho controllato i conti... Quindi rifalli per sicurezza.
Per quanto riguarda il "problema": dovresti sapere che, se in un sistema c'è un'equazione senza soluzioni, allora è tutto il sistema a non avere soluzioni.
Infine, per quanto riguarda il "privo di contorno"... Complimenti per l'onestà.
Però questa frase vuol dire che l'Analisi ti interessa solo ai fini dell'esame e che ti dimenticherai ogni cosa tre giorni dopo averlo superato. Questo, secondo me, è un pessimo modo di approcciare lo studio di qualsiasi cosa, figuriamoci dell'Analisi (che è fondamentale ovunque).
Per quanto riguarda il "problema": dovresti sapere che, se in un sistema c'è un'equazione senza soluzioni, allora è tutto il sistema a non avere soluzioni.
Infine, per quanto riguarda il "privo di contorno"... Complimenti per l'onestà.
Però questa frase vuol dire che l'Analisi ti interessa solo ai fini dell'esame e che ti dimenticherai ogni cosa tre giorni dopo averlo superato. Questo, secondo me, è un pessimo modo di approcciare lo studio di qualsiasi cosa, figuriamoci dell'Analisi (che è fondamentale ovunque).
Prova a partire dalla seconda equazione e metti in evidenza $2y$
Hai pienamente ragione.
I motivi per cui mi trovo con l'acqua alla gola sono purtroppo tanti.(la salute ha il suo peso)
Generalmente studio applicandomi seriamente.
A parte cio'.
Trovando un risultato come quello da me indicato dovrei concludere che non vi sono
punti stazionari per f???
I motivi per cui mi trovo con l'acqua alla gola sono purtroppo tanti.(la salute ha il suo peso)
Generalmente studio applicandomi seriamente.
A parte cio'.
Trovando un risultato come quello da me indicato dovrei concludere che non vi sono
punti stazionari per f???
Hai il sistema:
[tex]$\begin{cases} 3x^2+y^2-1=0 \\ 2y(x-1)=0 \end{cases}$[/tex].
Chiaramente la seconda equazione ha soluzioni (legge di annullamento del prodotto); quindi basta sostituire queste soluzioni nella prima e ricavare i corrispondenti valori dell'altra variabile (se esistono).
Ad esempio, tu hai trovato che [tex]$x=1$[/tex] è soluzione della seconda equazione: ora sostituisci nella prima e ottieni [tex]$y^2+2=0$[/tex], che è impossibile. Perciò nessun punto di ascissa [tex]$1$[/tex] è critico.
Però [tex]$x=1$[/tex] non è l'unica soluzione della seconda equazione... Se ti dico [tex]$y=0$[/tex] come procedi?
[tex]$\begin{cases} 3x^2+y^2-1=0 \\ 2y(x-1)=0 \end{cases}$[/tex].
Chiaramente la seconda equazione ha soluzioni (legge di annullamento del prodotto); quindi basta sostituire queste soluzioni nella prima e ricavare i corrispondenti valori dell'altra variabile (se esistono).
Ad esempio, tu hai trovato che [tex]$x=1$[/tex] è soluzione della seconda equazione: ora sostituisci nella prima e ottieni [tex]$y^2+2=0$[/tex], che è impossibile. Perciò nessun punto di ascissa [tex]$1$[/tex] è critico.
Però [tex]$x=1$[/tex] non è l'unica soluzione della seconda equazione... Se ti dico [tex]$y=0$[/tex] come procedi?
metto in evidenza 2y
Ottengo : $2y(x-1)=0$
$y=0 ed x=1$
poi dovrei sostituirli nella prima equazione?
Ottengo : $2y(x-1)=0$
$y=0 ed x=1$
poi dovrei sostituirli nella prima equazione?
$x=1 $ hai già visto che non produce soluzioni ( o meglio gugo ha mostrato che il sitema non ha soluzioni, ti è chiaro il perchè ? ).
Prova allora con $y=0 $ che devi sostituire nella prima equazione e vedi se e che soluzioni ottieni.del sistema.
Prova allora con $y=0 $ che devi sostituire nella prima equazione e vedi se e che soluzioni ottieni.del sistema.
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