Punto sella determinante hessiana nullo
Ho la funzione:
$x^2(x^2-y^2)$, mi chiede i punti critici, che ho trovato e sono $(0,k)$ per i quali il determinante dell’hessiana è nullo.
Ho deciso di studiare il segno della funzione in un intorno di tali punti:
Per $k!=0$ trovi che sono punti di massimo e per $k=0$, quindi l’origine, il testo dice che è punto di sella, come posso dimostrarlo?
Grazie
$x^2(x^2-y^2)$, mi chiede i punti critici, che ho trovato e sono $(0,k)$ per i quali il determinante dell’hessiana è nullo.
Ho deciso di studiare il segno della funzione in un intorno di tali punti:
Per $k!=0$ trovi che sono punti di massimo e per $k=0$, quindi l’origine, il testo dice che è punto di sella, come posso dimostrarlo?
Grazie
Risposte
Studia il segno di x^2(x-y)(x+y) intorno a zero (si annulla per... ecc) e da lì dovresti riuscire a trovare facilmente delle curve con massimo/minimo in 0.
Ciao
mi piacciono un sacco le funzioni in due variabili perché vedo il loro grafico come un paesaggio...
che ne dite se cerchiamo di trovare le curve di massima pendenza?
mi piacciono un sacco le funzioni in due variabili perché vedo il loro grafico come un paesaggio...
che ne dite se cerchiamo di trovare le curve di massima pendenza?
Saluto gio73 perché quest'ultimo suo messaggio mi ha riportato alla mente tanti ricordi di messaggi su funzioni in più variabili (quando di matematica ne sapevo più di ora).
A parte questo,
hai provato a prendere due direzioni diverse e a vedere cosa viene fuori?
Che so, così a caso, vuoi vedere cosa succede nel vedere cosa accade lungo la direzione $y=2x$ e lungo la direzione $y=1/2 x$?
A parte questo,
"_Ronaldo_CR7-":
il testo dice che è punto di sella, come posso dimostrarlo?
Grazie
hai provato a prendere due direzioni diverse e a vedere cosa viene fuori?
Che so, così a caso, vuoi vedere cosa succede nel vedere cosa accade lungo la direzione $y=2x$ e lungo la direzione $y=1/2 x$?
ciao zero
credo che il nostro cr7 abbia ricevuto le sue risposte e nn sia intenzionato a proseguire il thread, a me invece interessa (se possibile) trovare la linea di massima pendenza diciamo nella parte di grafico compresa tra la bisettrice del primo quadrante e il semiasse positivo delle ordinate.
Per intenderci: se lasciassi scivolare una pallina appena appena vicina all'origine ma già in quella parte di grafico che percorso seguirebbe?
credo che il nostro cr7 abbia ricevuto le sue risposte e nn sia intenzionato a proseguire il thread, a me invece interessa (se possibile) trovare la linea di massima pendenza diciamo nella parte di grafico compresa tra la bisettrice del primo quadrante e il semiasse positivo delle ordinate.
Per intenderci: se lasciassi scivolare una pallina appena appena vicina all'origine ma già in quella parte di grafico che percorso seguirebbe?
"gio73":
Per intenderci: se lasciassi scivolare una pallina appena appena vicina all'origine ma già in quella parte di grafico che percorso seguirebbe?
Mi dai una mano? Attualmente non saprei nemmeno come impostare il problema.
Allora pensavo di guardare cosa succede lungo linee orizzontali, esempio
$y=1$
$y=2$
ecc
Nel primo caso la nostra funzione diventa
$f(x;1)=x^2(x^2-1)$
Una funzione in una variabile dove noi vogliamo trovare il minimo Nell intervallo compreso tra 0 e 1
Nel secondo caso
$f(x; 2)=x^2(x^2-4)$
E così via si trovano un po' di punti e poi si vede unendoli viene fuori qualcosa (ad occhio direi nn una retta)
Nn è sicuramente un metodo ortodosso, ma tanto per farsi una idea e poi ragionarci di nuovo un po'.
$y=1$
$y=2$
ecc
Nel primo caso la nostra funzione diventa
$f(x;1)=x^2(x^2-1)$
Una funzione in una variabile dove noi vogliamo trovare il minimo Nell intervallo compreso tra 0 e 1
Nel secondo caso
$f(x; 2)=x^2(x^2-4)$
E così via si trovano un po' di punti e poi si vede unendoli viene fuori qualcosa (ad occhio direi nn una retta)
Nn è sicuramente un metodo ortodosso, ma tanto per farsi una idea e poi ragionarci di nuovo un po'.
Ciao!
Premetto che mi sa che possiamo spostarci su "pensare un po' di più", più che altro oggi in pausa pranzo mi sono ricordato che esiste un metodo per calcolare i limiti ed è il calcolo dei limiti considerando ogni direzione possibile.
In altre parole
$lim_((x,y)\to (0,0)) f(x,y) \qquad \to \qquad lim_(x->0) f(x,mx)$
sapendo, nel nostro caso, che il limite assume valore $0$ in quanto la funzione nell'origine è definita, non si può partire da questa relazione per ricavare il valore di $m$ "massimo" (quindi massima pendenza)?
(Premetto anche che sono a fine giornata lavorativa e chiedo perdono per eventuali scemenze che potrei avere scritto. )
Premetto che mi sa che possiamo spostarci su "pensare un po' di più", più che altro oggi in pausa pranzo mi sono ricordato che esiste un metodo per calcolare i limiti ed è il calcolo dei limiti considerando ogni direzione possibile.
In altre parole
$lim_((x,y)\to (0,0)) f(x,y) \qquad \to \qquad lim_(x->0) f(x,mx)$
sapendo, nel nostro caso, che il limite assume valore $0$ in quanto la funzione nell'origine è definita, non si può partire da questa relazione per ricavare il valore di $m$ "massimo" (quindi massima pendenza)?
(Premetto anche che sono a fine giornata lavorativa e chiedo perdono per eventuali scemenze che potrei avere scritto.
)
"gio73":
... a me invece interessa (se possibile) trovare la linea di massima pendenza diciamo nella parte di grafico compresa tra la bisettrice del primo quadrante e il semiasse positivo delle ordinate.
Per intenderci: se lasciassi scivolare una pallina appena appena vicina all'origine ma già in quella parte di grafico che percorso seguirebbe?
Personalmente procederei così:
- Fisso un punto $P$ del grafico di $f(x,y)$;
- calcolo il gradiente di $f(x,y)$ che, valutato in un punto, è il vettore di massima pendenza;
- cerco una curva $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ in modo tale che il suo vettore tangente $\gamma'(t)$ coincida puntualmente con il "controgradiente" di $f(x,y)$.
In termini matematici, le componenti di $\gamma$ devono soddisfare il sistema di equazioni differenziali
\begin{cases}x'(t)=-f_{x}(x(t),y(t))\\ y'(t)=-f_{y}(x(t),y(t))\\ x_0=x_P\\ y_0=y_P\end{cases}
(purtroppo questo sistema è molto complicato da risolvere in questa circostanza).
Trovate le componenti di $\gamma(t)$, considero la curva tridimensionale $\Gamma$ così definita:
$\Gamma(t)=(x(t),y(t),f(x(t),y(t)))$
Se la mia intuizione geometrica non mi inganna (e lo fa spesso, perciò non fidatevi), $\Gamma(t)$ è la traiettoria che la pallina (che parte da $P$) deve seguire per scendere di quota più velocemente.
Ciao Mathita! Che cosa intendi per 'controgradiente'?
Come dice Mathita, la linea di massima pendenza in un punto è data dal gradiente in quel punto. Però bisogna vedere la direzione e il verso del gradiente, se è 'in salita' la pallina non va da nessuna parte, ad esempio se siamo in un punto di minimo relativo possiamo calcolare la direzione di massima pendenza, ma la pallina sta in un fosso e non si muove. Essendo l'origine nel nostro caso, da quello che ho letto, un punto di sella, bisogna vedere come è fatta la funzione nella parte indicata da gio73.
Se fossimo sempre 'in discesa', l'idea di Mathita è quella di trovare una curva che 'segue' il gradiente.
Vorrei distinguere due problemi.
Uno è quello posto da gio73, cioè che traiettoria fa una pallina spontaneamente, lasciata cadere a partire da un punto. La velocità è quella che è, non è che la stiamo massimizzando.
L'altro problema sarebbe quello della discesa più veloce, cioè, se potessimo dirigere la pallina, quale sarebbe il percorso che la fa scendere più velocemente da un punto a un altro.
Pensate ad esempio ad uno sciatore che deve scegliere il percorso più veloce per scendere a valle: potrebbe per esempio scegliere prima un sentiero poco ripido (quindi non la direzione del gradiente) per trovarsi poi su una pista ripidissima che lo porta giù velocissimamente.
Be', questo è un altro problema e mi sembra un problema di calcolo delle variazioni, che non saprei da che parte cominciare per risolverlo.
"gio73":
[...] trovare la linea di massima pendenza diciamo nella parte di grafico compresa tra la bisettrice del primo quadrante e il semiasse positivo delle ordinate.
Come dice Mathita, la linea di massima pendenza in un punto è data dal gradiente in quel punto. Però bisogna vedere la direzione e il verso del gradiente, se è 'in salita' la pallina non va da nessuna parte, ad esempio se siamo in un punto di minimo relativo possiamo calcolare la direzione di massima pendenza, ma la pallina sta in un fosso e non si muove. Essendo l'origine nel nostro caso, da quello che ho letto, un punto di sella, bisogna vedere come è fatta la funzione nella parte indicata da gio73.
Se fossimo sempre 'in discesa', l'idea di Mathita è quella di trovare una curva che 'segue' il gradiente.
"Mathita":'
$ \Gamma(t) $ è la traiettoria che la pallina (che parte da $ P $) deve seguire per scendere di quota più velocemente.
Vorrei distinguere due problemi.
Uno è quello posto da gio73, cioè che traiettoria fa una pallina spontaneamente, lasciata cadere a partire da un punto. La velocità è quella che è, non è che la stiamo massimizzando.
L'altro problema sarebbe quello della discesa più veloce, cioè, se potessimo dirigere la pallina, quale sarebbe il percorso che la fa scendere più velocemente da un punto a un altro.
Pensate ad esempio ad uno sciatore che deve scegliere il percorso più veloce per scendere a valle: potrebbe per esempio scegliere prima un sentiero poco ripido (quindi non la direzione del gradiente) per trovarsi poi su una pista ripidissima che lo porta giù velocissimamente.
Be', questo è un altro problema e mi sembra un problema di calcolo delle variazioni, che non saprei da che parte cominciare per risolverlo.
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"gabriella127":
Ciao Mathita! Che cosa intendi per 'controgradiente'?
È un terribile neologismo (inventato da me) per indicare $-\nabla f(x,y)$ .
In ogni caso mi sa che ho interpretato male il problema. Il mio "procedimento" non mi convince, nel senso che non sono sicuro che restituisca esattamente quello che volevo. Tra l'altro, il sistema di equazioni differenziali si risolve analiticamente solo in casi davvero molto semplici: non appena le componenti del gradiente si complicano un pochetto, il sistema diventa inutile.
Mi piace la soluzione di l'abatefarina! Mi pare di capire che crea una sorta di "sentiero di minimi" calcolando il minimo sulle circonferenze di centro nell'origine, al variare del raggio $\varepsilon>0$. Mi chiedo, però, se questo metodo restituisca effettivamente il sentiero di massima pendenza. L'idea è comunque interessantissima.
"Mathita":
[quote="gabriella127"]Ciao Mathita! Che cosa intendi per 'controgradiente'?
È un terribile neologismo (inventato da me) per indicare $-\nabla f(x,y)$ .
[/quote]
No no mi piace!
"Mathita":
Mi chiedo, però, se questo metodo restituisca effettivamente il sentiero di massima pendenza.
in effetti no, quello che ho scritto non sta nè in cielo nè in terra
cancello
Ci ho riflettuto su e in effetti la strategia di cercare i minimi sulle circonferenze di centro nell'origine non funge per le funzioni radiali. Peccato. L'idea rimane comunque affascinante.
Ho riflettuto anche sulla mia strategia che sembra reggere. Ha "solo" un problema. Se la pallina è posizionata in un punto stazionario, non si muove di un epsilon in alcuna direzione (come è giusto che sia). Più che altro, quello che mi chiedo è: la proiezione di 'sta pallina sul piano base $Oxy$ non segue "naturalmente" l'opposto del vettore di massima pendenza?
Ho riflettuto anche sulla mia strategia che sembra reggere. Ha "solo" un problema. Se la pallina è posizionata in un punto stazionario, non si muove di un epsilon in alcuna direzione (come è giusto che sia). Più che altro, quello che mi chiedo è: la proiezione di 'sta pallina sul piano base $Oxy$ non segue "naturalmente" l'opposto del vettore di massima pendenza?
@ abatefarina anche a me piaceva la tua idea, perché hai cancellato, valeva la pena pensarci su.
(in effetti gio73 inizialmente aveva proposto un'idea che ci somigliava).
Sulle funzioni radiali, vabbe', non c'è un minimo. La pallina andrà dove andrà a seconda della posizione iniziale. ma questo vale sempre, anche se c'è un minimo (l'idea mi sembra è che i minimi formino una specie di 'canalone' lungo cui scivola la pallina), la pallina ci va solo se parte da lì vicino, altrimenti andrà in genere da altre parti.
Questo per idee un po' 'di fantasia'.
Eh sì, mi sembra, se ipotizziamo che la pallina cada nella direzione di massima pendenza.
Almeno, da ignorante in fisica, credo che sotto l'effetto della forza di gravità la pallina vada secondo la direzione di massima pendenza.
(in effetti gio73 inizialmente aveva proposto un'idea che ci somigliava).
Sulle funzioni radiali, vabbe', non c'è un minimo. La pallina andrà dove andrà a seconda della posizione iniziale. ma questo vale sempre, anche se c'è un minimo (l'idea mi sembra è che i minimi formino una specie di 'canalone' lungo cui scivola la pallina), la pallina ci va solo se parte da lì vicino, altrimenti andrà in genere da altre parti.
Questo per idee un po' 'di fantasia'.
"Mathita":
la proiezione di 'sta pallina sul piano base $ Oxy $ non segue "naturalmente" l'opposto del vettore di massima pendenza?
Eh sì, mi sembra, se ipotizziamo che la pallina cada nella direzione di massima pendenza.
Almeno, da ignorante in fisica, credo che sotto l'effetto della forza di gravità la pallina vada secondo la direzione di massima pendenza.
ciao a tutti
mi fa piacere che la discussione abbia appassionato alcuni di noi.
Ho fatto quanto detto all'inizio e cioè prima i conti e poi le deduzioni
iniziamo a studiare la nostra funzione lungo rette parallele all'asse x
$y=1$
$y=2$
$y=3$
$y=4$
...
dopodiché cerchiamo il minimo nell'intervallo rispettivamente
$(0;1)$
$(0;2)$
$(0;3)$
$(0;4)$
risparmiandovi i conti i punti di minimo sono
$P_1(1/(sqrt2);1)$
$P_2(sqrt2; 2)$
$P_3(3/(sqrt2); 3)$
$P_4(2sqrt2;4)$
...
allora un'illuminazione
la mia $y=...$ diventa un parametro $k$
la mia funzione diventa
$f(x;k)=x^2(x^2-k^2)$
la cui derivata prima
$f'=4x^3-2k^2x=2x(2x^2-k^2)$
da azzerare nell'intervallo $(0;+k)$ mi fa uscire
$2x^2-k^2=0$
da cui
$x=+k/(sqrt2)$
guardandola dalla parte del parametro il nostro canalone dovrebbe avere la forma di una semiretta uscente dall'origine con coefficiente angolare $sqrt2$
Potrebbe andare, o sono fuori strada?
Grazie a tutti di aver partecipato
mi fa piacere che la discussione abbia appassionato alcuni di noi.
Ho fatto quanto detto all'inizio e cioè prima i conti e poi le deduzioni
iniziamo a studiare la nostra funzione lungo rette parallele all'asse x
$y=1$
$y=2$
$y=3$
$y=4$
...
dopodiché cerchiamo il minimo nell'intervallo rispettivamente
$(0;1)$
$(0;2)$
$(0;3)$
$(0;4)$
risparmiandovi i conti i punti di minimo sono
$P_1(1/(sqrt2);1)$
$P_2(sqrt2; 2)$
$P_3(3/(sqrt2); 3)$
$P_4(2sqrt2;4)$
...
allora un'illuminazione
la mia $y=...$ diventa un parametro $k$
la mia funzione diventa
$f(x;k)=x^2(x^2-k^2)$
la cui derivata prima
$f'=4x^3-2k^2x=2x(2x^2-k^2)$
da azzerare nell'intervallo $(0;+k)$ mi fa uscire
$2x^2-k^2=0$
da cui
$x=+k/(sqrt2)$
guardandola dalla parte del parametro il nostro canalone dovrebbe avere la forma di una semiretta uscente dall'origine con coefficiente angolare $sqrt2$
Potrebbe andare, o sono fuori strada?
Grazie a tutti di aver partecipato
Credo che la strategia proposta da gio funzioni, nel senso che restituisce un sentiero su cui la pallina scende di quota. Purtroppo però non è generalizzabile facilmente. Inoltre costruire un canalone di minimi non garantisce il fatto che la pallina stia effettivamente scendendo.
Pensiamo ad esempio al paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$. Se lo sezioniamo con i piani di equazione $y=k$, e calcoliamo il punto di minimo sulla restrizione al variare di $k$, otterremo $x=0$. La curva dei minimi sul piano base sarà la retta $x=0$. Nel momento in cui la proiettamo sul paraboloide, quello che otteniamo è la parabola $z=y^2, x=0$.
Probabilmente non sono stato chiarissimo... Quello che intendo dire è che il canale dei minimi può acquisire quota. Bisognerebbe imporre qualche condizione in più affinché ciò non accada.
Il metodo proposto da l'abatefarina si può salvare in qualche modo. Ci devo pensare meglio.
La domanda di gio è davvero molto interessante e può tranquillamente essere proposta come argomento per una tesi di laurea: potrebbe avere dei risvolti in molti ambiti ingegneristici. Sinceramente non mi meraviglierei affatto se l'argomento fosse stato già trattato e approfondito in tutte le sue sfaccettature.
Pensiamo ad esempio al paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$. Se lo sezioniamo con i piani di equazione $y=k$, e calcoliamo il punto di minimo sulla restrizione al variare di $k$, otterremo $x=0$. La curva dei minimi sul piano base sarà la retta $x=0$. Nel momento in cui la proiettamo sul paraboloide, quello che otteniamo è la parabola $z=y^2, x=0$.
Probabilmente non sono stato chiarissimo... Quello che intendo dire è che il canale dei minimi può acquisire quota. Bisognerebbe imporre qualche condizione in più affinché ciò non accada.
Il metodo proposto da l'abatefarina si può salvare in qualche modo. Ci devo pensare meglio.
La domanda di gio è davvero molto interessante e può tranquillamente essere proposta come argomento per una tesi di laurea: potrebbe avere dei risvolti in molti ambiti ingegneristici. Sinceramente non mi meraviglierei affatto se l'argomento fosse stato già trattato e approfondito in tutte le sue sfaccettature.
Aggiungo che ci potrebbero essere situazioni in cui non è possibile costruire alcun canale di minimi (nel senso di gio73) , e però la pallina potrebbe essere in discesa. Si prenda ad esempio il paraboloide concavo $z=-x^2-y^2$. Le restrizioni sui piani $y=k$ non hanno minimi, purtroppo.
"Mathita":
Credo che la strategia proposta da gio funzioni, nel senso che restituisce un sentiero su cui la pallina scende di quota. Purtroppo però non è generalizzabile facilmente. Inoltre costruire un canalone di minimi non garantisce il fatto che la pallina stia effettivamente scendendo.
[...]
Probabilmente non sono stato chiarissimo... Quello che intendo dire è che il canale dei minimi può acquisire quota. Bisognerebbe imporre qualche condizione in più affinché ciò non accada.
Il metodo proposto da l'abatefarina si può salvare in qualche modo. Ci devo pensare meglio.
Sono d'accordo con te sul canale dei minimi (su cui non ho le idee chiare), non c'è qualcosa che assicuri che la pallina continui a scendere, dipende da come è fatta la funzione e da dove si parte. Ma questo vale in generale, anche se si fa scendere la pallina nella direzione del gradiente, che è il metodo rigoroso per stabilire la direzione di massima pendenza. La pallina potrebbe bloccarsi in qualche 'fosso'.
In ottimizzazione numerica c'è il cosiddetto metodo della steepest descent, che serve a trovare punti di minimo relativo (dovrei riguardarlo, sono reminiscenze di secoli fa). Consiste nello scendere nella direzione del gradiente fino a trovarsi in un punto di minimo relativo, e lì la pallina resterebbe intrappolata.
Se guardate la voce 'Discesa del gradiente' su Wikipedia, vedete che si accenna a un metodo simile a quello proposto da gio73 e da l'abatefarina. L'aveva pensato Cauchy.
https://it.wikipedia.org/wiki/Discesa_del_gradiente
Ciao
vorrei fare un passo avanti...
e come è la discesa del nostro canalone?
Costante? sempre più ripida?
vorrei fare un passo avanti...
e come è la discesa del nostro canalone?
Costante? sempre più ripida?
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