Punto morto con limite
Salve ragazzi, cono a un punto morto con un limite da cui non riesco a uscire, il limite è il seguente:
$\lim_{x\to1}\frac{\sin(\log(x))+\cos(\log(x))-x}{(\arccos(x))^{4}}$
Ho effettuato una sostituzione $y=\log(x)$:
$\lim_{y\to0}\frac{\sin(y)+\cos(y)-e^{y}}{(\arccos(e^{y}))^{4}}$
Chiaramente forma indeterminata...come tutti i limiti che si rispettino
....ora mi sono bloccato perchè non vedo che metodo poter applicare dal momento che la derivata di $\(arccos(e^{y}))^{4}$ inizia a diventare tostina da calcolare (per applicare de l'hopital o calcolarne un polinomio di taylor).
Così ho pensato di fare un altra sostituzione $y=cosx$
Diventerebbe quindi:
$\lim_{y\to\cos(1)}\frac{\sin(\log(\cos(y)))+\cos(\log(\cos(y)))-\cos(y)}{(y)^{4}}$
e anche qui mi verrebbe il problema del limite precedente.
Penso quindi che mi stia proprio sfuggendo qualcosa, ma non riesco a capire cosa poter applicare per calcolare il valore di questo limite.
$\lim_{x\to1}\frac{\sin(\log(x))+\cos(\log(x))-x}{(\arccos(x))^{4}}$
Ho effettuato una sostituzione $y=\log(x)$:
$\lim_{y\to0}\frac{\sin(y)+\cos(y)-e^{y}}{(\arccos(e^{y}))^{4}}$
Chiaramente forma indeterminata...come tutti i limiti che si rispettino
....ora mi sono bloccato perchè non vedo che metodo poter applicare dal momento che la derivata di $\(arccos(e^{y}))^{4}$ inizia a diventare tostina da calcolare (per applicare de l'hopital o calcolarne un polinomio di taylor).Così ho pensato di fare un altra sostituzione $y=cosx$
Diventerebbe quindi:
$\lim_{y\to\cos(1)}\frac{\sin(\log(\cos(y)))+\cos(\log(\cos(y)))-\cos(y)}{(y)^{4}}$
e anche qui mi verrebbe il problema del limite precedente.
Penso quindi che mi stia proprio sfuggendo qualcosa, ma non riesco a capire cosa poter applicare per calcolare il valore di questo limite.
Risposte
La prima idea è buona. A numeratore puoi sviluppare con Taylor senza problemi. Per quanto riguarda il denominatore, sapresti dirmi per quali valori di $alpha$ $lim_(z -> 1) (arccos(z))/(z -1)^alpha$ risulta essere un numero reale $!= 0$?
Allora, sviluppando il polinomio di taylor dovrebbe venire che il numeratore vale:
$-x^{2}-\frac{1}{2}x^{3}+o(x^{3})$
Per quanto riguarda la tua domanda, operando la sostituzione $z=\cos(x)$ ho che:
$\lim_{x\to0}\frac{x}{(\cos x-1)^{\alpha}}\approx\lim_{x\to0}\frac{x}{(-\frac{1}{2}x^{2})^{\alpha}}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\frac{1}{-2^{\alpha}}x^{2\alpha}}=(-2)^{\alpha}\lim_{x\to0}x^{1-2\alpha}$
Per essere un numero diverso da 0 (reale, quindi non infinito?) mi verrebbe da dire $\alpha = \frac{1}{2}$ ma dopo $(-2)^\alpha$ è un numero complesso...quindi...sbaglio qualcosa?
$-x^{2}-\frac{1}{2}x^{3}+o(x^{3})$
Per quanto riguarda la tua domanda, operando la sostituzione $z=\cos(x)$ ho che:
$\lim_{x\to0}\frac{x}{(\cos x-1)^{\alpha}}\approx\lim_{x\to0}\frac{x}{(-\frac{1}{2}x^{2})^{\alpha}}=\lim_{x\to0}\frac{x}{\frac{1}{-2^{\alpha}}x^{2\alpha}}=(-2)^{\alpha}\lim_{x\to0}x^{1-2\alpha}$
Per essere un numero diverso da 0 (reale, quindi non infinito?) mi verrebbe da dire $\alpha = \frac{1}{2}$ ma dopo $(-2)^\alpha$ è un numero complesso...quindi...sbaglio qualcosa?
Correggo il tiro:
\[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\arccos(x)}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{2} \]
Allora $\arccos(x) = \sqrt{x - 1} \sqrt{2} + o(\sqrt{x - 1})$ per $x -> 1^-$
Dunque $\arccos(e^y) = \sqrt{2} \sqrt{e^y - 1} + o(\sqrt{e^y - 1})$ per $y -> 0^-$
\[ ( \arccos(e^y) )^4 = 4 (e^y - 1)^2 + o((e^y - 1)^2) \]
ed essendo $e^y - 1 = y + o(y)$ per $y -> 0$ vale
\[ ( \arccos(e^y) )^4 = 4 (y + o(y))^2 + o((y + o(y))^2) = 4 y^2 + o(y^2)\]
Modulo errori da parte mia, il limite dovrebbe risultare $- 1/4$. Ti torna?
\[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\arccos(x)}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{2} \]
Allora $\arccos(x) = \sqrt{x - 1} \sqrt{2} + o(\sqrt{x - 1})$ per $x -> 1^-$
Dunque $\arccos(e^y) = \sqrt{2} \sqrt{e^y - 1} + o(\sqrt{e^y - 1})$ per $y -> 0^-$
\[ ( \arccos(e^y) )^4 = 4 (e^y - 1)^2 + o((e^y - 1)^2) \]
ed essendo $e^y - 1 = y + o(y)$ per $y -> 0$ vale
\[ ( \arccos(e^y) )^4 = 4 (y + o(y))^2 + o((y + o(y))^2) = 4 y^2 + o(y^2)\]
Modulo errori da parte mia, il limite dovrebbe risultare $- 1/4$. Ti torna?
Non vorrei fosse un errore di scrittura ma comunque mi sembra strano che quel limite faccia $\sqrt(2)$
Infatti la radice (venendo da 1-) è sempre una radice di numero negativo, essendo $x<1$
Mi risulta invece che \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\arccos(x)}{\sqrt{1- x}} = \sqrt{2} \]
Allora si che:
$\arccos(x)=\sqrt{2}\sqrt{1-x}+o(\sqrt{1-x})$
$\arccos(e^{y})=\sqrt{2}\sqrt{1-e^{y}}+o(\sqrt{1-e^{y}})$ per $y\to0^{+}$
$\arccos^{4}(e^{y})=4(1-e^{y})^{2}+o((1-e^{y})^{2})=4(-y)^{2}+o((-y)^{2})=4(y)^{2}+o((y)^{2})$
e quindi segue come hai detto tu. Del limite non ho la risposta ma i calcoli mi sembrano giusti quindi direi che il valore è giusto. L'unica cosa che non mi convince del tutto è quel limite che hai detto tu....comunque sia grazie mille, mi terrò da conto anche questo "limite notevole"
Infatti la radice (venendo da 1-) è sempre una radice di numero negativo, essendo $x<1$
Mi risulta invece che \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\arccos(x)}{\sqrt{1- x}} = \sqrt{2} \]
Allora si che:
$\arccos(x)=\sqrt{2}\sqrt{1-x}+o(\sqrt{1-x})$
$\arccos(e^{y})=\sqrt{2}\sqrt{1-e^{y}}+o(\sqrt{1-e^{y}})$ per $y\to0^{+}$
$\arccos^{4}(e^{y})=4(1-e^{y})^{2}+o((1-e^{y})^{2})=4(-y)^{2}+o((-y)^{2})=4(y)^{2}+o((y)^{2})$
e quindi segue come hai detto tu. Del limite non ho la risposta ma i calcoli mi sembrano giusti quindi direi che il valore è giusto. L'unica cosa che non mi convince del tutto è quel limite che hai detto tu....comunque sia grazie mille, mi terrò da conto anche questo "limite notevole"
Certamente, è come dici tu. Infatti avevo scritto "correggo il tiro" proprio per aggiustare quello svarione sui segni, ma poi chissà a cosa ho pensato.
Ah ecco pensavo dicessi "correggo il tiro" riferito a un mio errore di calcolo.
Ora ci sono, bene...grazie ancora!
pensavo dicessi "correggo il tiro" riferito a un mio errore di calcolo.Ora ci sono, bene...grazie ancora!
Figurati.
Quel limite, come forse avrai già notato, è una banale conseguenza del limite notevole $lim_(x -> 0) ( 1 - cos(x))/(x^2) = 1/2$. Quindi in realtà non devi tenere a mente nulla.
Quel limite, come forse avrai già notato, è una banale conseguenza del limite notevole $lim_(x -> 0) ( 1 - cos(x))/(x^2) = 1/2$. Quindi in realtà non devi tenere a mente nulla.
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