Punto interno e punto di accumulazione

[TS778LB]

Quando il mio libro passa dagli spazio metrici generali allo spazio $ R^n $ in particolare (munito di metrica euclidea), afferma che ogni punto interno ad un insieme $ AsubsetR^n $ è anche di accumulazione per $ A $. Mi chiedo se questo valga per ogni spazio metrico o solo nel caso di $ R^n $. Se non vale in generale, potreste fornirmi gentilmente un esempio di punto interno che non è di accumulazione?
Grazie

[apatriarca]

[highlight]Come ho scritto più sotto ho confuso le definizioni e qui parlo di punti di aderenza non accumulazione.[/highlight]

In effetti è valido per ogni spazio topologico, non solo quelli metrici. In effetti ogni punto \(a \in A\) è un punto di accumulazione per \(A\) siccome ogni suo intorno conterrà almeno \(a\) che è per definizione parte dell'insieme. Ogni punto interno \(a\) di un insieme \(A\) è un elemento di tale insieme perché ogni suo intorno contiene \(a\) e almeno uno di essi deve essere completamente contenuto in \(A\).

In generale avrai sempre
\[ A^\circ \subseteq A \subseteq \overline{A} \]
Inoltre avrai che (\(X\) è il tuo spazio topologico)
\[ A^\circ = X - \overline{(X - A)} \quad \text{e} \quad \overline{A} = X - (X - A)^\circ \]
Infine l'insieme di punti di accumulazione che NON sono punti interni è chiamata la frontiera dell'insieme
\[ \partial A = \overline{A} - A^\circ \]

[ghira1]

"apatriarca":In effetti è valido per ogni spazio topologico, non solo quelli metrici.

È vero per gli spazi discreti?

Mi pare che ogni punto di uno spazio discreto sia interno, e che non ci siano punti di accumulazione. Ma forse mi sbaglio.

[apatriarca]

Ripensandoci credo di aver confuso le definizioni di punto di aderenza, quello di cui parlavo, e punto di accumulazione di cui si parlava nel post originale. La differenza principale è se il punto di \(A\) nell'intorno può essere il punto su cui abbiamo costruito l'intorno oppure no. Nel caso di punto di aderenza abbiamo che il punto è incluso, per cui è come ho scritto sopra. Nel caso del punto di accumulazione abbiamo invece bisogno di trovare un punto diverso da quello di partenza e lo spazio discreto è un contro esempio come dici giustamente. La ragione è che l'insieme contenente il punto è un intorno aperto del punto nello spazio discreto e non contiene altri punti di \(A\) per cui non è di accumulazione.