Punto di sella "misterioso" ...per me !
Ciao a tutti , oggi ho fatto un esercizio ; vi scrivo la risoluzione del profe e poi vi faccio una domanda alla fine .
L'esercizio è questo : determinare gli estremi locali di $f(x,y)=x^2 -cos y$.
Utilizzo il teorema di Fermat per trovare i punti critici , ossia quei punti che annullano il gradiente.
Abbiamo che $\nabla (f,x) = (2x,sen y)$. Il punto critico è dunque $(0,k\pi)$.
Ora per capire la "natura" del punto critico costruisco la matrice Hessiana :
$(\partial^2 f )/ (\partial x^2) = 2 $, $(\partial^2 f) / (\partial y^2)= cos y$ ,$(\partial f )/( \partial x\partial y) =(\partial f) /( \partial y\partial x) = 0 $ quindi la matrice Hessiana è $Hf(x,y) =((2,0),(0,cos k\pi))$ e quindi $Hf(0,0) =((2,0),(0,-1^k))$ .
Calcolo il determinante : $Det = 2(-1)^k$ :
- Se k è pari la forma quadratica è definita positiva e poichè $(\partial^2 f )/ (\partial x^2)$ è positivo , allora (0,0) è punto di minimo!
- Se k è dispari det è negativo e (0,0) è punto di sella!
Ho capito tutto , ma non ho capito perchè nel caso in cui det è negativo (0,0) è un punto di sella. La forma quadratica non dovrebbe essere definita negativa e quindi far si che (0,0) sia un punto di massimo ?? Grazie
L'esercizio è questo : determinare gli estremi locali di $f(x,y)=x^2 -cos y$.
Utilizzo il teorema di Fermat per trovare i punti critici , ossia quei punti che annullano il gradiente.
Abbiamo che $\nabla (f,x) = (2x,sen y)$. Il punto critico è dunque $(0,k\pi)$.
Ora per capire la "natura" del punto critico costruisco la matrice Hessiana :
$(\partial^2 f )/ (\partial x^2) = 2 $, $(\partial^2 f) / (\partial y^2)= cos y$ ,$(\partial f )/( \partial x\partial y) =(\partial f) /( \partial y\partial x) = 0 $ quindi la matrice Hessiana è $Hf(x,y) =((2,0),(0,cos k\pi))$ e quindi $Hf(0,0) =((2,0),(0,-1^k))$ .
Calcolo il determinante : $Det = 2(-1)^k$ :
- Se k è pari la forma quadratica è definita positiva e poichè $(\partial^2 f )/ (\partial x^2)$ è positivo , allora (0,0) è punto di minimo!
- Se k è dispari det è negativo e (0,0) è punto di sella!
Ho capito tutto , ma non ho capito perchè nel caso in cui det è negativo (0,0) è un punto di sella. La forma quadratica non dovrebbe essere definita negativa e quindi far si che (0,0) sia un punto di massimo ?? Grazie
Risposte
Ciao!!
Non far confusione;
nel caso da te riportato avresti H<0,che non è affatto la stessa cosa di dire che la forma quadratica è definita negativa:
affinchè quest'ultima cosa accada occorre che $h_(1,1)<0$ e H>0,
ma non è affatto così nell'eventualità da te considerata
(e continuerebbe a non esserlo pure se scambiassi gli elementi della diagonale principale..)!
Saluti dal web.
Non far confusione;
nel caso da te riportato avresti H<0,che non è affatto la stessa cosa di dire che la forma quadratica è definita negativa:
affinchè quest'ultima cosa accada occorre che $h_(1,1)<0$ e H>0,
ma non è affatto così nell'eventualità da te considerata
(e continuerebbe a non esserlo pure se scambiassi gli elementi della diagonale principale..)!
Saluti dal web.
Non ho capito molto XD
Ciao. Secondo me puoi sfruttare il fatto che le soluzioni sono periodiche, per cui basta che ne studi una. Io mi trovo che il punto critico è $(0,2k\pi)$. Allora il determinante dell'hessiano ti diventa $det\mathcal{H}=2cos(2k\pi)$. Siccome il coseno è periodico allora hai che $det\mathcal{H}=2>0$. Ora resta da vedere come si comportano le derivate seconde nel punto. 
Ripeto,allora:
stai confondendo la giusta osservazione che,per k dispari,si ha $H(x_0,y_0)=2*(-1)^k=-2<0$,
col fatto che la forma quadratica associata ad H sia definita negativa..
Per esser vero quel che tu credi occorrerebbe che $2x^2+(-1)^k*y^2+2*0*x*y=2x^2-y^2<0$ $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$
(che può dimostarsi esser equivalente a dire 2<0 e H>0 oppure $2*(-1)^k<0$ e H>0..);
ponendo (x,y)=(0,2) e (x,y)=(2,0) potrai però verificare che ciò è palesamente falso
(d'altronde,sorpresona,s'ha ad ex $2*(-1)^k<0$ ma H<0..),
come pure è falso che $2x^2+(-1)^k*y^2=2x^2-y^2>0$ $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$:
più in generale,per farla semplice,quella forma quadratica non è associata ad un polinomio a "segno costante"
(non si può infatti neanche affermare,visti i controesempi che t'ho portato,
nemmeno come tale polinomio sia sempre non positivo né che è sempre non negativo..),
e dunque è indefinita!
Spero d'esser stato più chiaro,ora
(nei limiti di quanto ritengo di doverlo essere per portarti,a costo di qualche piccolo rompicapo,
a vedere la cosa in un'ottica più larga..) :
saluti dal web.
stai confondendo la giusta osservazione che,per k dispari,si ha $H(x_0,y_0)=2*(-1)^k=-2<0$,
col fatto che la forma quadratica associata ad H sia definita negativa..
Per esser vero quel che tu credi occorrerebbe che $2x^2+(-1)^k*y^2+2*0*x*y=2x^2-y^2<0$ $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$
(che può dimostarsi esser equivalente a dire 2<0 e H>0 oppure $2*(-1)^k<0$ e H>0..);
ponendo (x,y)=(0,2) e (x,y)=(2,0) potrai però verificare che ciò è palesamente falso
(d'altronde,sorpresona,s'ha ad ex $2*(-1)^k<0$ ma H<0..),
come pure è falso che $2x^2+(-1)^k*y^2=2x^2-y^2>0$ $AA(x,y)inRR^2-{(0,0)}$:
più in generale,per farla semplice,quella forma quadratica non è associata ad un polinomio a "segno costante"
(non si può infatti neanche affermare,visti i controesempi che t'ho portato,
nemmeno come tale polinomio sia sempre non positivo né che è sempre non negativo..),
e dunque è indefinita!
Spero d'esser stato più chiaro,ora
(nei limiti di quanto ritengo di doverlo essere per portarti,a costo di qualche piccolo rompicapo,
a vedere la cosa in un'ottica più larga..) :
saluti dal web.
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