Punto di sella per funzione di due variabili

[cri981]

$f(x,y)=xy+16/(x+2y)$ $ AA (x,y)epsilon R^2, x>0, y>0 $
1)(1,2) punto di sella
2)(1/2,1)punto di massimo locale
3)(2,1) punto di sella
4)(2,1) punto di massimo locale

primo passaggio calcolo la derivata parziale di x e la derivata parziale di y:
$f_x(x,y)= y-16/(x+2y)^2$
$f_y(x,y)=x-32/(x+2y)^2$

devo risolvere il sistema
$ { ( y-16/(x+2y)^2=0 ),( x-32/(x+2y)^2=0 ):} $
conosco il risultato (2,1), non riesco però a risolverlo operativamente:
$ { ( y-16/(x+2y)^2=0 ),( x-32/(x+2y)^2=0 ):}
{ ( y=16/(x+2y)^2 ),( x=32/(x+2y)^2 ):}
{ ((x+2y)^2y=16 ),( (x+2y)^2x=32 ):}
{ (x^2y+4y^3+4xy^2=16 ),(x^3+4xy^2+4x^2y=32 ):} $
come proseguo?

calcolo le derivate seconde:
fxx=$32/(x+2y)^3$
$fyy=64/(x+2y)^3$
$fxy=1+64/x+2y)^3$
costruisco la matrice:

devo costruire la matrice:
$ H=| ( 32/(x+2y)^3 , 1+64/(x+2y)^3 ),( 1+64/(x+2y)^3 , 64/(x+2y)^3 ) |=| ( 32/64 , 2 ),( 2 , 1 ) | =-253 $
ottengo quindi:
H<0 fxx>0, quindi il punto (2,1) è un punto di sella.

grazie

[spugna2]

"cri98": $ { ( y-16/(x+2y)^2=0 ),( x-32/(x+2y)^2=0 ):} $
conosco il risultato (2,1), non riesco però a risolverlo operativamente

Puoi moltiplicare la prima equazione per $2$ e sottrarre membro a membro: viene $x=2y$, e da qui è facile.

Per il resto direi tutto ok, a parte il determinante finale che è $-7/2$.

[cri981]

grazie spugna
sei stato di grande aiuto