Punto di sella o di minimo?
Salve!
Devo studiare i punti critici di questa funzione:
$f(x,y)=2 x^6 - 2 x^4 + y^2 - 2 x^2 y$
Ho determinato il gradiente, ottenendo che $(0,0)$ è un punto critico, tuttavia l'hessiano non è definito positivo o negativo in $(0,0)$, dunque a priori non posso dir nulla. Ora! Io ipotizzerei che sia un punto di sella. Intanto, è vero che:
Affinché un punto critico sia un punto di sella è sufficiente trovare due direzioni per le quali esso sia per una massimo e per l'altra minimo?
Chiedo perché l'ho sempre saputa in questo modo, ma allora, se così fosse, restringendo la funzione agli assi avrei:
$f(0,y)=y^2$ e quindi $(0,0)$ risulterebbe un minimo in questa direzione;
$f(x,0)=2 x^6 - 2 x^4$ e quindi $(0,0)$ risulterebbe un massimo in questa direzione;
Le soluzioni, tuttavia, mi dicono che non è nè un punto di minimo nè un punto di sella..
Dove sbaglio?
Devo studiare i punti critici di questa funzione:
$f(x,y)=2 x^6 - 2 x^4 + y^2 - 2 x^2 y$
Ho determinato il gradiente, ottenendo che $(0,0)$ è un punto critico, tuttavia l'hessiano non è definito positivo o negativo in $(0,0)$, dunque a priori non posso dir nulla. Ora! Io ipotizzerei che sia un punto di sella. Intanto, è vero che:
Affinché un punto critico sia un punto di sella è sufficiente trovare due direzioni per le quali esso sia per una massimo e per l'altra minimo?
Chiedo perché l'ho sempre saputa in questo modo, ma allora, se così fosse, restringendo la funzione agli assi avrei:
$f(0,y)=y^2$ e quindi $(0,0)$ risulterebbe un minimo in questa direzione;
$f(x,0)=2 x^6 - 2 x^4$ e quindi $(0,0)$ risulterebbe un massimo in questa direzione;
Le soluzioni, tuttavia, mi dicono che non è nè un punto di minimo nè un punto di sella..
Dove sbaglio?
Risposte
"Giso":
Salve!
Salve a te!
Affinché un punto critico sia un punto di sella è sufficiente trovare due direzioni per le quali esso sia per una massimo e per l'altra minimo?
Chiedo perché l'ho sempre saputa in questo modo, ma allora, se così fosse, restringendo la funzione agli assi avrei:
$ f(0,y)=y^2 $ e quindi $ (0,0) $ risulterebbe un minimo in questa direzione;
$ f(x,0)=2 x^6 - 2 x^4 $ e quindi $ (0,0) $ risulterebbe un massimo in questa direzione;
Le soluzioni, tuttavia, mi dicono che non è nè un punto di minimo nè un punto di sella..
Sono d'accordo con te, anch'io l'ho sempre saputa in questo modo. Inoltre wolfram non segnala né minimi né massimi nell'origine: so che ogni tanto becca qualche epic fail, ma resta decisamente più affidabile di me.
Non saprei proprio.. Questa è la soluzione che ho trovato nelle dispense del mio prof:
Per certi versi non fa una piega, però liquida con "per m=0 non ci sono problemi" proprio il caso più ambiguo
Per certi versi non fa una piega, però liquida con "per m=0 non ci sono problemi" proprio il caso più ambiguo
A me invece non convince per niente. $m<0$ dov'è?
EDIT. Ho tolto una parte sbagliata.
EDIT. Ho tolto una parte sbagliata.
@ Giso:
A quanto ricordo è così... Ma probabilmente tutto dipende dalla definizione di punto di sella che ti viene fornita.
Prova a recuperarla sul testo adottato dal docente.
@ Zero87: Eh???
Scusa, anche \(f(x,y)=-x^2+y^2\) gode della stessa proprietà di cui sopra rispetto alla restrizione lungo l'asse delle ordinate; però si guarda bene dall'essere positiva intorno a \((0,0)\).
"Giso":
Affinché un punto critico sia un punto di sella è sufficiente trovare due direzioni per le quali esso sia per una massimo e per l'altra minimo?
A quanto ricordo è così... Ma probabilmente tutto dipende dalla definizione di punto di sella che ti viene fornita.
Prova a recuperarla sul testo adottato dal docente.
@ Zero87: Eh???
Scusa, anche \(f(x,y)=-x^2+y^2\) gode della stessa proprietà di cui sopra rispetto alla restrizione lungo l'asse delle ordinate; però si guarda bene dall'essere positiva intorno a \((0,0)\).
Ecco la definizione dalle dispense:
Ora..a me due rette di questo genere pare di averle trovate!
Ma d'altro canto come dice Zero87 Wolfram smentisce http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x ... ddle+point
Ora..a me due rette di questo genere pare di averle trovate!
Ma d'altro canto come dice Zero87 Wolfram smentisce http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x ... ddle+point
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