Punto di non derivabilità
Ciao ragazzi! Come al solito sono qui a chiedervi un piccolo chiarimento 
La funzione $x|e^x-1|$ presenta un punto angoloso in $x=0$?
Io ero convinto di no, dato che facendo limite destro e sinistro della derivata in zero da destra e da sinistra (rispettivamente) ho ottenuto $0^+$, però dal grafico sembra che ci sia un punto angoloso...
La funzione $x|e^x-1|$ presenta un punto angoloso in $x=0$?
Io ero convinto di no, dato che facendo limite destro e sinistro della derivata in zero da destra e da sinistra (rispettivamente) ho ottenuto $0^+$, però dal grafico sembra che ci sia un punto angoloso...
Risposte
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h|e^h-1|}{h}=\lim_{h\to 0}|e^h-1|=0
\]
quindi direi che non c'è nessun punto angoloso. Anche dal grafico non si vedono punti di non derivabilità...
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h|e^h-1|}{h}=\lim_{h\to 0}|e^h-1|=0
\]
quindi direi che non c'è nessun punto angoloso. Anche dal grafico non si vedono punti di non derivabilità...
Ops, ho visto solo ora che il programma che ho usato non aveva la visualizzazione proporzionale. Mi dispiace davvero per la domanda stupida...
Io non ho capito.
In effetti dal grafico $x=0$ sembra un flesso obliquo. E facendo i limiti come ha detto l'utente si ottiene $0^+$.
Però la derivata prima viene:
$f'(x)=|e^x-1|+(xe^x|e^x-1|)/(e^x-1)$.
Allora perchè da questo punto di vista $x=0$ non è un punto di non derivabilità?
In effetti dal grafico $x=0$ sembra un flesso obliquo. E facendo i limiti come ha detto l'utente si ottiene $0^+$.
Però la derivata prima viene:
$f'(x)=|e^x-1|+(xe^x|e^x-1|)/(e^x-1)$.
Allora perchè da questo punto di vista $x=0$ non è un punto di non derivabilità?
"AnalisiZero":
Allora perchè da questo punto di vista x=0 non è un punto di non derivabilità?
Perché
\[
\lim_{x\to 0} f'(x)=0=f'(0)
\]
(se non ti convince prova a calcolare limite destro e limite sinistro, così puoi togliere il valore assoluto e semplificare).
I limiti li ho fatti, e in effetti valgono $0$.
Ma non mi convince perché da un punto di vista del dominio della funzione derivata, $f'(0)$ non esiste.
Ma non mi convince perché da un punto di vista del dominio della funzione derivata, $f'(0)$ non esiste.
Il dominio della derivata è dato da tutti i punti in cui la derivata esiste, e cioè da tutti quei punti $x$ tali per cui esiste finito il limite
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Dato che ponendo $x=0$ quel limite esiste ed è finito, allora $0$ ha tutto il diritto di stare nel dominio della derivata.
Se ti dà fastidio il fatto che il denominatore si annulla, basta notare che $|e^x-1|=sgn(e^x-1)(e^x-1)$, e in questo modo si semplifica il denominatore.
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
\]
Dato che ponendo $x=0$ quel limite esiste ed è finito, allora $0$ ha tutto il diritto di stare nel dominio della derivata.
Se ti dà fastidio il fatto che il denominatore si annulla, basta notare che $|e^x-1|=sgn(e^x-1)(e^x-1)$, e in questo modo si semplifica il denominatore.
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