Punto di max o di min per la funzione implicita
ciao a tutti,ho un piccolo dubbio su una cosa..ossia:sto risolvendo un esercizio, in cui mi è data uma funzione che definisce una funzione implicita in un intorno di (0,0).
mi è chiesto di dire se x=0 è pt di max o di min per y=f(x).
la funzione è x^2 + log(1+x^2y) + 5ye^y = 0 ,con y=f(x) definita in un intorno di (0,0)
ho usato la formula per la derivata prima di f(x).. poi ho calcolato f"(x) in x=0 e risulta minore di zero. f'(0)=0.
quindi è punto di massimo essendo una funzione concava.
ho provaro per verifica a calcolare con il test dell'hessiano e mi risulta che (0,0) per F(x,y) è pt di minimo.
questo fatto può essere giustificato dal fatto che per calcolare f'(x) e f"(x) compare il (-)?
chiedo scusa per la banalità della domanda.
chiedo acusa se poco chiaro ma sto scrivendo dal cellulare...se servirà scrivo tutti i passaggi.
grazie in anticipo
mi è chiesto di dire se x=0 è pt di max o di min per y=f(x).
la funzione è x^2 + log(1+x^2y) + 5ye^y = 0 ,con y=f(x) definita in un intorno di (0,0)
ho usato la formula per la derivata prima di f(x).. poi ho calcolato f"(x) in x=0 e risulta minore di zero. f'(0)=0.
quindi è punto di massimo essendo una funzione concava.
ho provaro per verifica a calcolare con il test dell'hessiano e mi risulta che (0,0) per F(x,y) è pt di minimo.
questo fatto può essere giustificato dal fatto che per calcolare f'(x) e f"(x) compare il (-)?
chiedo scusa per la banalità della domanda.
chiedo acusa se poco chiaro ma sto scrivendo dal cellulare...se servirà scrivo tutti i passaggi.
grazie in anticipo
Risposte
"enzo_87":
ho provaro per verifica a calcolare con il test dell'hessiano e mi risulta che (0,0) per F(x,y) è pt di minimo.
In un punto di minimo della \(F(x,y)\) come fai ad applicare il teorema della funzione implicita?
se devo essere sincero non credo di essere in grado di rispondere alla tua domanda...
ti spiego il mio ragionamento però:
allora il testo dell'esercizio è il seguente
$ y=f(x) $ definita in un intorno di (0,0) da $ x^2 + log ( 1+ x^2y) + 5ye^{y} = 0 $ ha in $ x=0 $
1- punto di flesso
2- punto di max locale
3-punto di minimo
4 nessuna delle altre risposte
la funzione implicita è definita perché lo dice il testo, comunque le ipotesi del teorema sono soddisfatte...
allora ho calcolato $ f'(x) = -(( del F(x,y))/ (del x)) / (( del F(x,y))/ (del y)) $
con $ ( del F(x,y))/ (del x) = 2x + (2xy) / (1+x^2y) $ che in (0,0) è uguale a = 0
e con $ ( del F(x,y))/ (del y) = x^2 / (1+x^2y) + 5e^{y} + 5ye^{y} $ che in (0,0) = 5
per cui f'(x)=0 , quindi per y=f(x) , x=0 è punto stazionario.
ora ho calcolato la f"(x) in 0 = -4/5. per cui f"(0) < 0 , la funzione è concava...e di consegiuenza x=0 è un punto di max.(non scrivo tutta la formula perché se no non finisco più)
volevo vedere ora cos'era (0,0) per F(x,y) = $ x^2 + log ( 1+ x^2y) + 5ye^{y} $.
con gli elementi già calcolati dell'hessiano, mi risulatava il primo termina della matrice > 0 e il det >0 .
quindi deve essere (0,0) un punto di minimo per F(x,y).
a me i calcoli sembrano giusti..ma se ho sbagliato qualcosa o qualche concetto dimmi pure.
chiedo scusa per la mia ignoranza
ti spiego il mio ragionamento però:
allora il testo dell'esercizio è il seguente
$ y=f(x) $ definita in un intorno di (0,0) da $ x^2 + log ( 1+ x^2y) + 5ye^{y} = 0 $ ha in $ x=0 $
1- punto di flesso
2- punto di max locale
3-punto di minimo
4 nessuna delle altre risposte
la funzione implicita è definita perché lo dice il testo, comunque le ipotesi del teorema sono soddisfatte...
allora ho calcolato $ f'(x) = -(( del F(x,y))/ (del x)) / (( del F(x,y))/ (del y)) $
con $ ( del F(x,y))/ (del x) = 2x + (2xy) / (1+x^2y) $ che in (0,0) è uguale a = 0
e con $ ( del F(x,y))/ (del y) = x^2 / (1+x^2y) + 5e^{y} + 5ye^{y} $ che in (0,0) = 5
per cui f'(x)=0 , quindi per y=f(x) , x=0 è punto stazionario.
ora ho calcolato la f"(x) in 0 = -4/5. per cui f"(0) < 0 , la funzione è concava...e di consegiuenza x=0 è un punto di max.(non scrivo tutta la formula perché se no non finisco più)
volevo vedere ora cos'era (0,0) per F(x,y) = $ x^2 + log ( 1+ x^2y) + 5ye^{y} $.
con gli elementi già calcolati dell'hessiano, mi risulatava il primo termina della matrice > 0 e il det >0 .
quindi deve essere (0,0) un punto di minimo per F(x,y).
a me i calcoli sembrano giusti..ma se ho sbagliato qualcosa o qualche concetto dimmi pure.
chiedo scusa per la mia ignoranza
Come hai osservato, \(\nabla F(0,0) \neq (0,0)\), dunque l'origine non è nemmeno un punto stazionario (e, di conseguenza, non può essere di estremo relativo); lo studio della matrice hessiana per la classificazione dei punti stazionari interni ha senso, per l'appunto, solo nei punti stazionari!
In un punto di estremo relativo interno il teorema della funzione implicita non è mai applicabile, poiché il gradiente della funzione è nullo.
In un punto di estremo relativo interno il teorema della funzione implicita non è mai applicabile, poiché il gradiente della funzione è nullo.
madonna è vero!!!
mi sono concentrato su f'(0)=0 .
grazie mille...ok, quindi l'hessiano è sbagliato usarlo proprio per quel motivo.
una cosa però, questo è un esercizio svolto in aula, ma in modo differente, stavo provando a farlo senza aiuti scritti.
il profe prendeva F(x,f(x)) e la derivava due volte, dalla cui equazione estrapolava f"(x).
gli risultava che in 0 era <0 e poi mi dice che è punto di minimo.
è sbagliato questo vero?
mi sono concentrato su f'(0)=0 .
grazie mille...ok, quindi l'hessiano è sbagliato usarlo proprio per quel motivo.
una cosa però, questo è un esercizio svolto in aula, ma in modo differente, stavo provando a farlo senza aiuti scritti.
il profe prendeva F(x,f(x)) e la derivava due volte, dalla cui equazione estrapolava f"(x).
gli risultava che in 0 era <0 e poi mi dice che è punto di minimo.
è sbagliato questo vero?
Beh sì.
Se \(f'(0) = 0\) e \(f''(0) < 0\), allora \(x=0\) è un punto di massimo relativo.
Se \(f'(0) = 0\) e \(f''(0) < 0\), allora \(x=0\) è un punto di massimo relativo.
bene, allora la prima parte è giusta...
grazie mille...gentilissimo
grazie mille...gentilissimo
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