Punto di Lebesgue

[cippo3]

Ciao a tutti, vorrei sapere se qualcuno è in grado di risolvere il seguente problema:
sia $ f(x)=sin(1/x) $ se $x!=0$, $f(x)=0$ se $x=0$.

$x=0$ è un punto di Lebesgue per $f$?

[cippo3]

Su un libro ho trovato che $x=0$ per la funzione sopra citata non è di Lebesgue e c'è scritto che
$lim_{h->0}1/h\int_0^h |sin(1/x)|=2/pi$
qualcuno mi saprebbe spiegare come poterlo dimostrare?

[gugo82]

Penso che la soluzione si possa ottenere anche senza l'uso di quella relazione di limite (che, ad essere sinceri, non so bene da dove venga...).

Per definizione, affinché $x=0$ sia un punto di Lebesgue (pL) per $f$, deve aversi:

(*) $\quad lim_(h\to 0^+) 1/(2h) \int_(-h)^h |sin(1/x)| " d"x=0$

e ciò, vista la parità dell'integrando, equivale a richiedere che la funzione $h\mapsto \int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ sia infinitesima d'ordine superiore ad $h$ quando $h\to 0$.
Quindi si può far vedere che il punto $0$ non è un pL per $f$ semplicemente mostrando che la funzione $h\mapsto \int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ non è un infinitesimo d'ordine superiore ad $h$ quando $h\to 0$: ciò si può fare minorando opportunamente il numeratore del rapporto $1/h \int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ in modo da ottenere $min lim_(h\to 0^+) 1/h \int_0^h |sin(1/x)|" d"x >0$*.

Propongo una via in spoiler, così da non rovinare il lavoro a chi ci sta pensando.

Visto che l'integrando $|sin(1/x)|$ è non negativo, possiamo provare a minorare in maniera accettabile $|sin(1/x)|$ ed usare il fatto che l'integrale di funzioni positive conserva l'ordine (i.e. $0<= phi(x) <= psi(x) => \int_a^b phi(x)" d"x <= \int_a^b psi(x)" d"x$).
Evidentemente $|sin(1/x)|=0$ in $]0,+oo[$ solo se $x=1/(pik)$ con $k\in NN$ e $|sin(1/x)|=1$ solo se $x=2/(pi(2k+1))$ sempre con $k\in NN$; inoltre notiamo che, fissato $k \in NN$, si ha $ 1/(pi(k+1)) < 2/(pi(2k+1)) < 1/(pik) $.
Scelto $k\in NN$, facciamo un grafico di $f(x)=|sin(1/x)|$ in $[1/(pi(k+1)),1/(pi k)]$ e notiamo che $f$ si può minorare con una funzione lineare a tratti il cui grafico congiunga i punti $(1/(pi(k+1)) ,0),(2/(pi(2k+1)) ,1),(1/(pi k) ,0)$, come descritto in figura:
[asvg]xmin=0;xmax=1;ymin=0;ymax=1;
axes();
plot("abs(sin(3.14/x))",0.33,0.5);
stroke="red";
line([0.33,0],[0.4,1]);
line([0.4,1],[0.5,0]);[/asvg]
Quindi l'idea è di minorare $\int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ (area del rettangoloide subordinato ad $f$ in $[0,h]$) con la somma delle aree degli infiniti triangoli via via più "stretti" contenuti in $[0,h]$ che si ottengono come rettangoloidi subordinati alle suddette funzioni lineari a tratti.
Il $k$-esimo di tali triangolini ha area pari a $A_k:=1/2(1/(pi k)-1/(pi (k+1))=1/(2pi)(1/k-1/(k+1))$ (Geometria Elementare: il classico "base per altezza diviso due"); preso $h<1$, si vede che il primo triangolino ad avere la base interamente contenuta $[0,h]$ è quello corrispondente all'indice $k_0=[1/(pi h)]+1$ (qui $[\cdot ]$ è la parte intera), quindi l'area dell'unione dei $K$ triangolini successivi al $k_0$-esimo è:

$\sum_(k=k_0)^K 1/(2pi)(1/k-1/(k+1))=1/(2pi) \sum_(k=k_0)^K 1/k-1/(k+1) =1/(2pi) (1/k_0 -1/K)$

per cui, facendo tendere $K\to oo$, otteniamo che l'area di tutti gli infiniti triangolini che hanno la base in $[0,h]$ è data da:

$A(h)=1/k_0=1/(2pi) 1/([1/(pih)]+1)$.

Visto che il rettangoloide subordinato alla nostra funzione lineare a tratti è contenuto in quello subordinato a $f(x)=|sin(1/x)|$ abbiamo:

$\int_0^h |sin(1/x)|" d"x>= A(h) \quad => \quad 1/h\int_0^h |sin(1/x)|" d"x>= (A(h))/h$

Quindi, per mostrare che $minlim_(h\to 0^+) 1/h\int_0^h |sin(1/x)|" d"x >0$ basta far vedere che $lim_(h\to 0^+) (A(h))/h>0$.
Ciò è molto facile: infatti si ha:

$[1/(pi h)]<= 1/(pi h) < [1/(pi h)]+1<=1/(pi h)+1=(pi h +1)/(pi h) \quad => \quad A(h)=1/(2pi) 1/([1/(pi h)]+1) >= 1/(2pi) (pi h)/(pi h+1)=1/2 h/(pi h+1)$
$\quad => \quad (A(h))/h >=1/2 1/(pi h+1)$

e perciò:

$lim_(h\to 0^+) (A(h))/h>= lim_(h\to 0^+) 1/2 1/(pi h+1) =1/2>0$

come volevamo.

__________
* Alla fin fine, per dire che $h\mapsto \int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ non è un infinitesimo d'ordine superiore ad $h$ per $h\to 0^+$ basta mostrare che il rapporto $1/h \int_0^h |sin(1/x)|" d"x$ è limitato inferiormente da una costante positiva, ovvero che $minlim_(h\to 0^+) 1/h \int_0^h |sin(1/x)|" d"x >0$.

[cippo3]

Io avevo pensato di minorarala in qualche modo, sono giorni e giorni che ci penso! Inizialmente pensavo venisse che er punto di Lebesgue, e allora avevo maggiorato con dei trinagolini che contenessero ogni grafico del $sin(1/x)$ in $[1/(k\pi),1/((k-1)\pi)]$ ma non mi veniva, dopodiché avevo provato altre vie e niente.

Avevo provato anche a minorare in qualche modo ma niente. Non avevo pensat di minorare con dei triangolini, che idiota.

Grazie mille per avermi illuminato!

[Luca.Lussardi]

Per cippo: quel limite discende subito effettuando una sostituzione e applicando il Lemma di Riemann-Lebesgue (detto in modo raffinato è una convergenza debole* in $L^\infty$).

[gugo82]

La sostituzione è ovvia, però l'applicazione di Riemann-Lebesgue un po' meno (si vede che non sono ancora pratico di questi risultati essenziali di Analisi Armonica...); potresti specificare meglio Luca?
Grazie.

[Luca.Lussardi]

Anzitutto c'è una svista, si tratta del $lim_{h \to 0}1/h \int_0^h |sen(1/x)|dx$, poiché banalmente $lim_{h \to 0}\int_0^h |sen(1/x)|dx=0$. Quanto a $lim_{h \to 0}1/h \int_0^h |sen(1/x)|dx$ si ha $1/h \int_0^h |sen(1/x)|dx=\int_1^{+\infty} 1/z^2|sen (z/t)|dz$. Dal momento che risulta $1/\pi \int_0^\pi |sen y|dy=2/\pi$ per il Lemma di Riemann Lebesgue (versione generalizzata) si ha $lim_{h \to 0}1/h \int_0^h |sen(1/x)|dx=\lim_{h \to 0}\int_1^{+\infty} 1/z^2|sen (z/t)|dz=2/\pi\int_1^{+\infty}1/z^2dz=2/\pi.$

[Alexp1]

Ciao Luca,
io sapevo che il lemma di Riemann-Lebesgue afferma: Se $f$ è integrabile $L^1$, ossia se l'integrale di Lebesgue di $|f|$ è finito, allora:
$\int_-infty^infty f(x)e^(izx)dx->0$ per $z->+- infty$...è corretto?
il che significa che una funzione integrabile secondo Lebesgue ammetterà trasformata di Fourier (oppure si può fare anche con quella di Laplace) che tenderà a zero per $z$ che tende ad $+-infty$.
Nell'esempio che stavate analizzando però non ho capito questa uguaglianza, che poi è il fulcro della dimostrazione....

"Luca.Lussardi":
$lim_{h \to 0}1/h \int_0^h |sen(1/x)|dx=\lim_{h \to 0}\int_1^{+\infty} 1/z^2|sen (z/t)|dz

...avresti voglia di spiegarmela?