Punto critico, esercizio banale

[Needhana]

Salve,
Qual è il punto critico della seguente funzione???

Sia $f:RR^2rarrRR$, $f(x,y)=x^2ye^y$

Allora ponendo le derivate parziali uguali a zero e risolvendo il sistema, mi trovo (0,0) come punto critico, Ma il libro dice che i punti critici sono tutti quelli del tipo (0,y)... Voi cosa ne pensate? In ogni caso ecco il sistema

$\{(2xye^y=0),(x^2e^y+x^2ye^y=0):}$

Grazie Mille

[Lorin1]

Se fai caso dalla prima equazione si ricava la condizione $x=0$, ora se sostituisci nella seconda equazione tale valore trovi $0=0 , AA y in RR$, probabilmente è per questo motivo che il libro dice che tutti i punti critici sono della forma $(0,y)$

[Needhana]

Giusto -_- .

Grazieeeeeee MiLleee ^_^

[vict85]

"Lorin":Se fai caso dalla prima equazione si ricava la condizione $x=0$, ora se sostituisci nella seconda equazione tale valore trovi $0=0 , AA y in RR$, probabilmente è per questo motivo che il libro dice che tutti i punti critici sono della forma $(0,y)$

Può anche essere \(y = 0\) ma in questo caso si ha che la seconda diventa \(x^2 = 0\) e quindi anche \(x\) deve essere uguale a \(0\).

P.S: probabilmente hai solo dimenticato un anche prima di condizione

[Lorin1]

Si, ovviamente c'era da studiare anche le altre condizioni, oltre a $x=0$, ma ho notato che essendo la soluzione $(0,y) , AA y in RR$, era inclusa anche la condizione $y=0$.

[Needhana]

Quindi se y=0 e nella seconda x=0 allora (0,0) non è un punto critico?

[Lorin1]

Nel momento in cui la risposta è $(o,y) , AA y in RR$ allora è incluso anche $(0,0)$ come valore.