Punto angoloso
Volevo chiedervi se è corretto lo svolgimento e il ragionamento che ho fatto per la risoluzione dell'esercizio:
Determinare gli eventuali punti angolosi di f:
$f(x) = |x|*sqrt(9-x^2)$
Innanzitutto appena ho osservato la funzione ed ho visto il valore assoluto, ho subito pensato che almeno un punto angoloso c'è. Perchè so che il punto angoloso è un punto di non derivabilità in cui esistono limite dx e sx ma sono diversi, ed è un punto tipico del valore assoluto (anche perchè la stessa funzione ha un grafico con punto angoloso in zero).
Detto ciò ho calcolato la derivata:
$f'(x) = (9x-2x^3)/(sqrt(x^2*(9-x^2))$
Ed ho calcolato il dominio, che risulta essere $x in ]-3, 0[ U ]0, 3[$. Ecco, l'unico punto angoloso possibile è lo zero. Non dando però per scontato che lo fosse, ho calcolato il limite dx e sx della derivata:
$limit_{x->0^(pm)} (9x-2x^3)/(sqrt(x^2*(9-x^2))$
Ecco, qui è il punto focale. Quel limite viene $3$ con $0^+$ e viene $-3$ con $0^-$.
Non saprei dare un motivo esatto, nel senso che ho pensato sinceramente che essendoci sicuramente in quel punto allora uno dei due deve essere di segno opposto. Ho pensato che comunque la funzione si comporta in modo '' simmetrico '' ai lati dello zero, quindi se a destra tende a $3$, a sinistra dovrà tendere a $-3$. Ma non penso sia corretto un ragionamento del genere.
Vi ringrazio enormemente per l'aiuto che mi darete
Determinare gli eventuali punti angolosi di f:
$f(x) = |x|*sqrt(9-x^2)$
Innanzitutto appena ho osservato la funzione ed ho visto il valore assoluto, ho subito pensato che almeno un punto angoloso c'è. Perchè so che il punto angoloso è un punto di non derivabilità in cui esistono limite dx e sx ma sono diversi, ed è un punto tipico del valore assoluto (anche perchè la stessa funzione ha un grafico con punto angoloso in zero).
Detto ciò ho calcolato la derivata:
$f'(x) = (9x-2x^3)/(sqrt(x^2*(9-x^2))$
Ed ho calcolato il dominio, che risulta essere $x in ]-3, 0[ U ]0, 3[$. Ecco, l'unico punto angoloso possibile è lo zero. Non dando però per scontato che lo fosse, ho calcolato il limite dx e sx della derivata:
$limit_{x->0^(pm)} (9x-2x^3)/(sqrt(x^2*(9-x^2))$
Ecco, qui è il punto focale. Quel limite viene $3$ con $0^+$ e viene $-3$ con $0^-$.
Non saprei dare un motivo esatto, nel senso che ho pensato sinceramente che essendoci sicuramente in quel punto allora uno dei due deve essere di segno opposto. Ho pensato che comunque la funzione si comporta in modo '' simmetrico '' ai lati dello zero, quindi se a destra tende a $3$, a sinistra dovrà tendere a $-3$. Ma non penso sia corretto un ragionamento del genere.
Vi ringrazio enormemente per l'aiuto che mi darete
Risposte
Non riesco a capire cosa non ti è chiaro.
Non so se è corretto lo svolgimento e il ragionamento finale (per cui fa $-3$ e fa $3$) !!
Non vorrei dire una sciocchezza dato che sono arrivato a sera con la testa come un pallone... Quindi magari aspetta qualcun'altra!
La derivata e i limiti vanno bene. Il punto angolo si ha dove i valori di questi sono doversi (vedi il modulo di x).
Non so se bisogna fare un ragionamento conclusivo, io non l'ho mia fatto!
La derivata e i limiti vanno bene. Il punto angolo si ha dove i valori di questi sono doversi (vedi il modulo di x).
Non so se bisogna fare un ragionamento conclusivo, io non l'ho mia fatto!
Il ragionamento conclusivo l'ho fatto per '' giustificare '' i valori diversi dei limiti dx e sx che si differenziano solo per il segno vicino allo stesso numero.
Ovvero ho pensato che la funzione si comporta in modo '' simmetrico '' ai lati del punto stesso e quindi se da una parte tende a $3$, dall'altra tende a $-3$.
Ovvero ho pensato che la funzione si comporta in modo '' simmetrico '' ai lati del punto stesso e quindi se da una parte tende a $3$, dall'altra tende a $-3$.
Occhio che la funzione è definita anche per $x=0$.
Sì, in $0$ c'è un punto angoloso e il fatto che i due limiti destro e sinistro siano diversi lo dimostra.
Cosa rappresenta la derivata? Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione, punto per punto... se da un lato ha un valore negativo, dall'altra positivo, vorrà dire che la "pendenza" sarà opposta, no?
A sinistra dello zero la funzione decresce, a destra cresce, nello zero c'è l'angolo
Sì, in $0$ c'è un punto angoloso e il fatto che i due limiti destro e sinistro siano diversi lo dimostra.
Cosa rappresenta la derivata? Il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione, punto per punto... se da un lato ha un valore negativo, dall'altra positivo, vorrà dire che la "pendenza" sarà opposta, no?
A sinistra dello zero la funzione decresce, a destra cresce, nello zero c'è l'angolo
Sì, credo d'aver detto la stessa cosa ma con parole molto meno matematiche 
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