Punto all'infinito

[Webster]

Sono incuriosito dal concetto di punto all'infinito. Mi è stata esposta a lezione la costruzione di tale punto tramite l'esempio di una sfera poggiata sul piano complesso. Non ho ben compreso però il perchè di alcune sue caratteristiche. Perchè può essere definito solo nel piano complesso e non su quello reale? E, trattandosi di un punto a fase indeterminata e modulo infinito, da cosa nasce la sua unicità? Grazie a tutti.

[gugo82]

"Webster":Sono incuriosito dal concetto di punto all'infinito. Mi è stata esposta a lezione la costruzione di tale punto tramite l'esempio di una sfera poggiata sul piano complesso. Non ho ben compreso però il perchè di alcune sue caratteristiche. Perchè può essere definito solo nel piano complesso e non su quello reale?

Ciò non è vero.
Si può aggiungere il punto all'infinito anche alla retta reale, solo che bisogna farlo nel modo opportuno.

Tanto per capirci, la costruzione è la stessa; solo che il piano è rimpiazzato dalla retta reale e la sfera da una circonferenza.

"Webster":E, trattandosi di un punto a fase indeterminata e modulo infinito, da cosa nasce la sua unicità? Grazie a tutti.

L'unicità nasce dalla sua stessa costruzione.
Infatti, proiettando il piano sulla sfera c'è un unico punto che non viene preso, i.e. il polo della proiezione; per convenzione, allora, si conviene di chiamare \(\infty\) tale punto.

Ad ogni modo, l'aggiunta di un punto all'infinito è una costruzione topologica standard detta compattificazione di Alexandrov, la quale consente di rendere compatto un qualsiasi spazio topologico che non lo è.