Punti stazionarietà

[ed0k22]

cia a tutti,
sono alle prese con un esercizio che mi chiede di calcolare i punti di stazionarietà di un potenziale $ U(alpha,x) $ :

$ U=-k/2*(4l^2cos^2alpha+x^2-4lxcosalpha)+Fx+cost. $

calcolando le derivate prime parziali ottengo

$ (partial U)/(partial alpha)= k(4l^2cosalphasinalpha-2lxsinalpha) $

$ (partial U)/(partial x)= -k*(x -2lcosalpha)+F $

dopodichè ponendo le derivate uguali a 0 per calcolarmi i punti di stazionarietà e isolando la x in $ (partial U)/(partial x) $

ottengo

$ -2Flsinalpha = 0 $

$ x= F/k +2lcosalpha $

con soluzione $ P1(alpha,x)=(0, F/k +2l), P2(alpha,x)=(pi, F/k -2l) $

ora ho un dubbio..

sono stazionari anche i punti $ P3(alpha,x)=(pi/2,F/k) , P4(alpha,x)=(-pi/2, F/k) $ oppure gli unici punti di stazionarietà sono quelli che ho trovato inizialmente??

grazie in anticipo!!

[ciampax]

Secondo me sbagli a risolvere il sistema, nel senso che la prima equazione va riscritta

$2l\sin\alpha(2l\cos\alpha-x)=0$

la quale si scompone nelle due equazioni

$\sin\alpha=0$ e $x=2l\cos\alpha$.

A questo punto, dalla prima condizione hai $\alpha=2n\pi,\ n\in ZZ$ che sostituito nella seconda porta a $-k(x-2l(-1)^n)+F=0$ e quindi $x=F/k+(-1)^n 2l$ da cui i punti stazionari della forma

$P_n(2n\pi,F/k+(-1)^n 2l)$

Avendosi invece, dalla seconda condizione sostituita nella seconda equazione, $F=0$, tale soluzione (a meno che $F$ non sia effettivamente nullo) non è accettabile e pertanto gli unici punti stazionari sono quelli descritti in precedenza.

[ed0k22]

perfetto grazie mille !