Punti stazionari sistema gradiente

[phigreco1]

Salve,

Ho il seguente gradiente:
$\nabla f(x,y)= (6x^2-3y, 6y^2-3x)$

Per trovare i punti stazionari ho posto:

$\nabla f(x,y)=0$

$=> \{(6x^2-3y=0 => y=0 vv y=1/2),(6y^2-3x=0 => x=0 vv x=1/2):}$

Ottengo dunque queste quattro soluzioni $x=0$, $x=1/2$, $y=0$, $y=1/2$

Perché i punti stazionari sono solamente $P_0=(0,0)$ e $P_1=(1/2, 1/2)$ e non sono punti stazionari anche altre combinazioni delle soluzioni come $(0,1/2), (1/2,0)$ ?
Coma faccio a capire come devo "combinare" le soluzioni ottenute?

[poll89]

Se chiami punti stazionari i punti che annullano il gradiente, senza specificarne la natura, allora tutti e quattro lo sono. Basta che la coppia di coordinate annulli il gradiente
Poi alcuni chiamano stazionari solo i punti effettivi di massimo e minimo, escludendo quindi le selle. Ma per questo dovresti studiare più a fondo la funzione.

[phigreco1]

Studiando il comportamento dell'Hessiana nei punti $P_0$ e $P_1$ risulta che il primo è un punto di sella, il secondo di minimo.

Ma il punto che mi preme non è questo, ma quello più ridicolo del perché nella soluzione presente sul testo vengono esclusi gli altri due punti dall'elenco dei punti stazionari....

[poll89]

Scusa, non avevo controllato se effettivamente gli altri punti annullassero il gradiente, cosa che non fanno. Ad esempio se metti $(0,1/2)$ nella prima equazione non risulta verificata. Quindi ha ragione il libro perchè gli altri punti non sono soluzione del sistema.

[mazzarri1]

ciao Phigreco

Se $x=0$ allora $y=0$ non capisco da dove prendi gli altri 2 punti

risolviamo assieme

${(2x^2-y=0),(2y^2-x=0):}$

***${(y=2x^2),(2y^2-x=0):}$

sostituisco la $y$ della prima nella seconda

$8x^4-x=0$

$x(8x^3-1)=0$

$x_1=0$
$x_2=1/2$

adesso ti ricordo che

$y=2x^2$

quindi

$y_1=0$
$y_2=1/2$

per cui i punti sono solo due, è corretto

$P_1(0,0)$ e $P_2(1/2,1/2)$

EDIT: ho visto che aveva già risposto Poll89 (che saluto) ma ormai avevo scritto tutte ste cose e non volevo annullare il post

[phigreco1]

Grazie mille, primo dubbio risolto.

Risolviamo il secondo:

Dunque quando ottengo le soluzioni di $\nabla f(x,y)=0$ ho solamente dei "candidati" a punto stazionario? Devo dunque accertarmene sostituendoli nel gradiente e vedere se ottengo $\nabla f(x_i,y_i)=(0,0)$ ?

(poi, ovviamente, se voglio constatare di che natura sono faccio la cosa del determinante dell'Hessiana in quei punti )

EDIT: perfetto, adesso è tutto chiaro. Grazie ad entrambi.

[mazzarri1]

semplicemente se rileggi il mio post vedi che i due ulteriori punti da te trovati non annullano il sistema, hai proprio sbagliato a risolvere il sistema

[phigreco1]

@mazzarri non avevo ancora visto il tuo post. Ancora grazie.

[@melia]

Perché hai sbagliato a risolvere il sistema
${(6x^2-3y=0 ),(6y^2-3x=0 ):} => {(2x^2-y=0 ),(2y^2-x=0 ):} =>{(y=2x^2),(8x^4-x=0 ):}$

dalla seconda equazione ottieni $x_1=0$ e $x_2=1/2$ che vanno sostitute nella prima equazione

${(x_1=0),(y_1=0 ):}$ e ${(x_2=1/2),(y_2=1/2 ):}$ per cui le soluzioni sono solo $(0,0)$ e $(1/2,1/2)$