Punti stazionari in funzione a due variabili
Salve, mi scuso in anticipo se sbaglio a postare ma mi sono appena registrato al forum.
Arriviamo al dunque,
Devo calcolare i punti stazionari della seguente funzione e specificarne la natura:
\(\displaystyle f(x,y) = x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x \)
Calcolo le derivate parziali:
\(\displaystyle f'_x(x,y) = 3x^2 - 6y + 3 \)
\(\displaystyle f'_y(x,y) = -6x + 6y \)
Pongo il gradiente uguale a zero ho trovato che il punto stazionario è (1,1).
Trovo le derivate seconde:
\(\displaystyle f''_{xx} = 6x \)
\(\displaystyle f''_{yy} = 6 \)
\(\displaystyle f''_{xy} = -6 \)
Trovo l'Hessiana nel punto (1,1) e ottengo det = 0.
Da qui non so come procedere poiché non ho ben capito come stabilire la natura di un punto quando appunto il det è uguale a 0.
Da riminescenze credo che si debba ricavare:
\(\displaystyle f(x,y) - f(x_0, y_0) \)
E studiarne il segno.
Grazie a chiunque provi a darmi una mano!
Arriviamo al dunque,
Devo calcolare i punti stazionari della seguente funzione e specificarne la natura:
\(\displaystyle f(x,y) = x^3 - 6xy + 3y^2 + 3x \)
Calcolo le derivate parziali:
\(\displaystyle f'_x(x,y) = 3x^2 - 6y + 3 \)
\(\displaystyle f'_y(x,y) = -6x + 6y \)
Pongo il gradiente uguale a zero ho trovato che il punto stazionario è (1,1).
Trovo le derivate seconde:
\(\displaystyle f''_{xx} = 6x \)
\(\displaystyle f''_{yy} = 6 \)
\(\displaystyle f''_{xy} = -6 \)
Trovo l'Hessiana nel punto (1,1) e ottengo det = 0.
Da qui non so come procedere poiché non ho ben capito come stabilire la natura di un punto quando appunto il det è uguale a 0.
Da riminescenze credo che si debba ricavare:
\(\displaystyle f(x,y) - f(x_0, y_0) \)
E studiarne il segno.
Grazie a chiunque provi a darmi una mano!
Risposte
Sì, va bene l'idea dello studio del segno, ma devi farlo in un intorno del punto $(1,1)$: io in questo caso proverei a vedere come è fatto il Polinomio di Taylor (di terzo ordine) di centro $(1,1)$, la cosa dovrebbe risultare più semplice.
Ti ringrazio, a quanto pare basta il Polinomio di Taylor al secondo ordine. Il tuo intervento è stato comunque determinante
scusate l'intromissione, l'argomento mi interessa 
Negli appunti che ho a disposizione, nei casi di determinante dell'Hessiana = 0 , non si fa riferimento allo studio del polinomio di Taylor (lo si usa per giustificare lo studio dell'hassiana, ma nulla di più), si consiglia di analizzare i limiti della funzione per rette passanti per quel punto, per farsi un'idea dei valori dei punti nell'intorno del punto stazionario.
Non ho trovato nulla neppure nei libri che ho a disposizione, se vi va/avete tempo, spieghereste (in breve, senza pretese) come si può procedere usando Taylor?
Negli appunti che ho a disposizione, nei casi di determinante dell'Hessiana = 0 , non si fa riferimento allo studio del polinomio di Taylor (lo si usa per giustificare lo studio dell'hassiana, ma nulla di più), si consiglia di analizzare i limiti della funzione per rette passanti per quel punto, per farsi un'idea dei valori dei punti nell'intorno del punto stazionario.
Non ho trovato nulla neppure nei libri che ho a disposizione, se vi va/avete tempo, spieghereste (in breve, senza pretese) come si può procedere usando Taylor?
Sai come si scrive il polinomio di Taylor di una funzione di due variabili centrato nel punto $(x_0,y_0)$? Prova a farlo e ti renderai conto che la forma che assume (in questo caso) è determinante per capire come si comporti la funzione.
@Lolliccio: sicuro che basti al secondo ordine? Secondo me lo devi scrivere tutto.
@Lolliccio: sicuro che basti al secondo ordine? Secondo me lo devi scrivere tutto.
Credo proprio di sì, te lo dico perché per fugare ogni dubbio sono andato dal prof, quindi a meno che non abbia sbagliato lui al secondo ordine è sufficiente!
Ah, ok. Non ho fatto i calcoli esplicit, ma la presenza di quell $x^3$ mi insospettiva, ecco perché ti chiedevo.
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